Presentación de PowerPoint

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Programa de certificacin de Green Belts III. Seis Sigma - Medicin P. Reyes / Octubre 2007 1 Fase de medicin Propsitos: Determinar req. de informacin para el proyecto Definir las Mtricas de los indicadores del Proceso Identificar los tipos, fuentes y causas de la variacin en el proceso Desarrollar un Plan de Recoleccin de Datos

Realizar un Anlisis del Sistema de Medicin (MSA) Llevar a cabo la recoleccin de datos Salidas Diagnstico de la situacin actual del problema 2 III. Seis Sigma - Medicin A. Anlisis y documentacin del proceso B. Probabilidad y estadstica C. Coleccin y resumen de datos D. Distribuciones de probabilidad E. Anlisis de los sistemas de medicin F. Capacidad y desempeo de procesos 3 IIIA. Anlisis y documentacin del proceso 4 IIIA. Anlisis y documentacin del proceso

1. Modelado del proceso 2. Entradas y salidas del proceso 5 IIIA.1 Modelado del proceso 6 Anlisis y documentacin del proceso Un proceso es un conjunto de recursos y actividades que transforman entradas en salidas agregando valor. Las actividades deben ser documentadas y controladas. Se analizan los tpicos siguientes: 1. Herramientas 2. Entradas y salidas del proceso 7 Anlisis y documentacin del proceso - Herramientas

Diagramas de flujo Mapas de proceso Procedimientos escritos Instrucciones de trabajo Anlisis de proceso Documentacin del proceso 8 Diagrama de flujo Un diagrama de flujo o mapa de proceso es til para comprender el proceso. Puede describir la secuencia del producto, contenedores, papeleo, acciones del operador o procedimientos administrativos. Es el paso inicial para la mejora de procesos, ya que facilita la generacin de ideas.

9 Diagrama de flujo Organizar un equipo para examinar el proceso Construir un mapa de proceso para representar los pasos del proceso Discutir y analizar cada paso en detalle Preguntarse Por qu lo hacemos de esta manera? Comparar el proceso actual a un proceso imaginario perfecto 10

Diagrama de flujo Hay complejidad innecesaria? Existe duplicacin o redundancia? Hay puntos de control para evitar errores y rechazos? Se realiza el proceso de acuerdo a como est planeado? Puede realizarse el proceso de manera diferente? las ideas de mejora pueden venir de procesos muy diferentes? 11 Diagrama de flujo Smbolos de Diagramas de flujo

12 Diagrama de flujo Diagramas de flujo - Ejemplo 13 Diagrama de flujo Beneficios Permiten visualizar el proceso que se est describiendo Describen el proceso con smbolos, flechas y palabras sin necesidad de oraciones La mayora usa simbologa estandarizada (ANSI Y15.3) Si se usa software el nmero de smbolos puede llegar a 500 14 Diagrama de flujo Diagramas de flujo o mapas de proceso

Permiten comprender la operacin del proceso Normalmente representan el punto de inicio para la mejora Pasos para elaborarlo (Smbolos ANSI Y15.3) Organizar un equipo para examinarlo Construir un diagrama de flujo representando cada paso Discutir y analizar detalladamente cada paso Preguntarse Porqu lo hacemos de esta forma? Comparar esta forma con la del proceso perfecto Existe demasiada complejidad, duplicidad o redundancia Se opera el proceso como est planeado y puede mejorarse? 15 Smbolos de diagrama de flujo

Proceso Desicin Documento Datos Proceso Predefinido Preparacin Operacin Entrada Manuales Conector Con. pgina Display Almacen Terminador 16 Smbolos para Diagramas de Flujo Iniciar/Detener Operaciones (Valor agregado) Decisin Inspeccin /Medicin Transportacin Transmisin Almacenar

Entrada/Salida Retraso Lneas de Flujo 17 Diagrama de flujo del Proceso: Es el diagrama de flujo de un proceso que muestra cmo se realiza un trabajo. Inicio Paso 1 Paso 2A Paso 2B Paso 2C Paso 3 Retrabajo No Bueno?

S Fin 18 Diagrama de flujo / Anlisis del valor Actividades con valor agregado Actividades sin valor agregado 19 Cmo Ayuda un Mapa de Proceso? Una vez que podemos ver las cosas -podemos hablar de ellas. Los pasos que no agregan valor se hacen ms

evidentes. El retrabajo y las reparaciones son obvias. Se puede llegar a acuerdos. 20 Diagramas de Flujo Existentes Creados para un propsito diferente. Con frecuencia no reflejan los puntos de inicio y Fin adecuados. No son cmo es. Quieren ser No sealan el desperdicio. 21

Aprovecha al Equipo Haz recorridos, entrevistas y revisiones de los diagramas de flujo y los estndares existentes. 22 Haz el Mapa del Proceso lo ms Pronto Posible! El mapa de un proceso... seala con claridad la regin en la que el equipo se debe enfocar. evita que el equipo salga de los lmites del proyecto. 23

El Inicio y el Fin Se Deben Poder Medir Selecciona los puntos de Inicio y Fin donde se llevan a cabo acciones que se pueden medir. 24 Ejercicio Rpido - Inicio y Fin Proceso Inicio Fin Ensamble de Asiento Dibujos de Ingeniera Manufactura en Riel de Asientos

Cuentas por Pagar 25 Ejemplos - Inicio y Fin Proceso Inicio Fin Ensamble de Asiento Marco de metal Inspeccin Final puesto enlnea Dibujos de Ingeniera Requerimientos ClienteRecibe delCliente el Archivo CAD Manufactura en Operacin de Inspeccin Final Riel deAsiento

Prfiles Estampados Cuentaspor Recepcin de la Depsito Pagar Facturadel Electrnico Proveedor 26 Permite que la Gente vea el Mapa del Proceso De ser posible, la gente que trabaja en el proceso debe poder ver una copia grande a escala del mapa del proceso. Las revisiones, sugerencias y correcciones son bienvenidas!

27 Herramientas de un Mapa de Proceso Rotafolios y Marcadores. Hojas para Rotafolio y Notas Autoadheribles. 28 Pasos para Elaborar un Mapa de Como equipo... Proceso 1. Establezcan los puntos de Inicio y Fin del proceso. 5. Discutan, revisen y modifiquen. 2. Hagan una lista de los

6. Hagan un segundo pasos del proceso mediante recorrido y entrevistas. una tormenta de ideas. 3. Realicen el primer recorrido 7. Aadan pasos de inspeccin, retrabajo, y entrevistas. 4. Elaboren una lista de los proceso clave en las notas autoadheribles. reparacin y desperdicio en las notas autoadheribles. 8. Elaboren un mapa de proceso cmo es. 29 Hazlo fcil! En este momento, el mapa de proceso cmo es debe ser de alto nivel, pero debe incluir todos los pasos primarios necesarios para obtener la mejora deseada

(es decir, los pasos con valor agregado relativos a los CTQ, CTC, CTD). Idealmente, muestra de cinco a diez pasos. Agrega ms detalles posteriormente. 30 Paso 1: Puntos de Inicio y Fin Revisen la declaracin del problema.

Declaracin del Problema: El cliente espera los dibujos modificados demasiado tiempo. Proceso: Describan los procesos Proceso de revisin de que causan el problema. dibujos. Comenten los puntos de Pregunta: Cul podra ser el Inicio y Fin que se punto de Inicio? pueden medir. Pregunta: Pnganse de acuerdo y Cul podra ser punto regstrenlos. de Fin? 31 Puntos de Inicio y Fin

Declaracin del Problema: El Cliente espera demasiado tiempo los dibujos modificados. Proceso: Proceso de revisin de dibujos. Inicio: El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos. Fin: Se entrega el archivo de dibujos (CAD) al Cliente. 32 Paso 2: Tormenta de Ideas sobre los Pasos del Proceso

Escriban Inicio y Fin donde todos lo puedan ver. El equipo aporta ideas sobre los pasos del proceso que existen entre el inicio y el fin. Inicio: El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos. Pregunta: Cules son algunos de los probables pasos del proceso entre los puntos de inicio y fin? Fin: El archivo CAD se entrega al Cliente. 33 Pasos del Proceso

Inicio: El Cliente solicita un formato de cambio de dibujos. Pasos a seguir: Bosquejar el cambio requerido. Calcular el impacto del cambio. Determinar cules dibujos necesitan cambiarse. Cambiar los dibujos apropiados. Fin: El archivo CAD se entrega al Cliente. 34 Paso 3: Primer Recorrido y Entrevistas El equipo recorre el proceso existente.

Observen cmo se hace el trabajo. Platiquen con la gente (entrevisten). Tomen notas. Enfquense en los pasos del proceso. 35 Paso 4: Notas Autoadheribles Escriban los pasos del proceso en notas autoadheribles.

Crear Boceto Encontrar Especif. Coloquen las notas sobre la pared. Por ahora slo dejen las notas. Reunin con el grupo Localizar Archivos CAD Hacer Caf Cambiar Dibujos

Calcular Impacto Crear Paquete de Archivos Enviar al Cliente 36 Paso 5:Comentar, Revisar, Modificar Comenten, repasen y modifiquen el mapa del proceso en las notas autoadheribles. Pnganse de acuerdo en los pasos que se deben conservar.

Pnganse de acuerdo en los pasos que se deben eliminar. Retengan solo los pasos importantes del proceso. 37 Pasos Importantes del Proceso Informacin suficiente para facilitar la mejora. Resultados que se puedan medir.

Podran producirse defectos (CTQ, CTC, CTD). Un inicio y un fin definidos. 38 Pasos Importantes Crear Bsquejo Qu pasos podran ser importantes en el mapa del proceso que aparece a la derecha? Encontrar Especif. Reunin con el

grupo Localizar Archivos CAD Hacer Caf Cambiar Dibujos Calcular Impacto Crear Paquete de Archivos Enviar al Cliente 39 Paso 6: Segundo Recorrido y

Entrevistas Vuelvan a recorrer el proceso. Busquen pasos que hayan pasado por alto. Revisen pasos de inspeccin, retrabajo, reparacin y desperdicio. Tomen notas. 40 Paso 7: Aadir Cambios

Solicitud de Cambio del Cliente Agreguen notas autoadheribles. Aadan inspecciones. Aadan retrabajo y reparaciones. Aadan desperdicio. Por ahora dejen todas las notas. Reunin con Ventas

No Crear Bsquejo Calcular Impacto Impacto OK? S Dibujo OK? Cambiar Dibujo S No Crear paquete de archivos Enviar a

Cliente Cliente recibe archivos CAD 41 Paso 8: Mapa del Proceso Cmo Es Solicitud de cambio del Cliente El equipo establece un mapa del proceso Crear tal cual. No Calcular Impacto Bsquejo

Tiene el detalle suficiente para incluir los pasos importantes. Sin demasiado detalle para que se entienda rpidamente. Reunin con Ventas Impacto OK? S Dibujo OK? Cambiar Dibujo

S No Crear paquete de archivos Enviar a Cliente Cliente recibe archivos CAD 42 Cundo Recolectar Datos Durante la elaboracin del mapa de proceso. Identifica los puntos para la recoleccin de datos, pero no recopiles los datos! Despus de haber creado el Mapa Cmo Es planea la recoleccin de datos sobre los pocas salidas vitales. ci u a

c Pre n Generalmente, cuando se recolectan datos durante la elaboracin del mapa, se toman datos sobre puntos equivocados. La recoleccin de datos se debe planear y enfocar sobre los factores de alta prioridad que son crticos para el cliente! (consulta el mdulo Planeacin de la Recoleccin de Datos) 43 Mapa del Proceso Cmo Es Solicitud de cambio del Cliente Reunin con Ventas No Calcular Impacto Crear Bsquejo

Impacto OK? Si S No Crear paquete de archivos Es el inicio de tu viaje hacia la mejora. Dibujo OK? Cambiar Dibujo Enviar al Cliente Es la condicin

base del proceso. Cliente recibe archivos CAD Es la oportunidad para la estrategia de impacto de Six Sigma. 44 El Mapa de Proceso Cmo Debe Ser Una vez que se identifiquen las soluciones durante la fase de MEJORA Crea el nuevo mapa de proceso. El nuevo mapa muestra el flujo de trabajo mejorado que ahora tiene - menos pasos - menos actividades sin valor agregado T O N A

Este nuevo mapa muestra el proceso cmo debe ser que ser una vez que se implementen todas las soluciones. 45 46 La cadena de valor Son todas las actividades que la empresa debe realizar para disear, ordenar, producir, y entregar los productos o servicios a los clientes. La cadena de valor tiene tres partes principales: El flujo de materiales, desde la recepcin de proveedores hasta la entrega a los clientes. La transformacin de materia prima a producto terminado.

El flujo de informacin que soporta y dirige tanto al flujo de materiales como a la transformacin de la materia prima en producto terminado. 47 La cadena de valor Beneficios del Mapeo de la cadena de valor Ayuda a visualizar el flujo de produccin; las fuentes del desperdicio o Muda Suministra un lenguaje comn sobre los procesos de manufactura y Vincula los conceptos ytcnicas Lean Forma la base del plan de ejecucin, permitiendo optimizar el diseo del flujo de puerta a puerta Muestra el enlace entre el flujo de informacin y el flujo de material Permite enfocarse en el flujo con una visin de un estado ideal o al menos mejorado 48 Flujo de informacin Adems del flujo de materiales en el proceso de produccin, se tiene otro flujo que es el de informacin que indica a cada proceso lo que debe producir o hacer en el paso siguiente.

Son dos caras de la misma moneda y se deben trazar ambos. 49 50 Simbologa utilizada 51 Simbologa utilizada 52 Simbologa utilizada 53 Identificando mapa actual 54 Tips para la cadena de valor Recolecte siempre informacin del estado actual

mientras se realizan las operaciones normales tanto en flujos de informacin como de materiales. Inicie con una caminata rpida a travs de la cadena de valor completa puerta a puerta, para obtener un sentido del flujo y secuencia de procesos. Despus regrese y colecte informacin en cada proceso. Inicie desde el final de embarque y de ah para atrs. As se iniciar el mapeo con los procesos que estn ms ligados directamente al cliente, el cual debe establecer los pasos para otros procesos. 55 Tips para la cadena de valor Utilice el cronmetro y no dependa de tiempos estndar o informacin que no obtenga personalmente.

Trazar uno mismo la cadena de valor completa. Entendiendo que el flujo completo lo encierra el mapeo de la cadena de valor. Siempre trace a mano y a lpiz. Ir al piso de produccin al realizar el anlisis de estado actual, y afinarlo ms tarde. Se debe resistir la tentacin de usar la computadora. 56 Tips para la cadena de valor 57 Informacin para la cadena de valor

Tiempo del ciclo (C/T tiempo que transcurre entre la salida de dos partes consecutivas) Tiempo de cambio o de preparacin (C/O para cambiar de un producto a otro) Tiempo disponible de mquina (De acuerdo a la demanda) Tamao de lote de produccin (EPE every part every..) Nmero de operadores 58 Informacin para la cadena de valor Nmero de productos diferentes Contenido de la unidad de empaque o contenedor Tiempo de trabajo (sin los descansos obligatorios) Tasa de desperdicio

Capacidad del proceso (tiempo disponible/ tiempo de ciclo * porcentaje de disponibilidad del equipo), sin tiempos de cambio de tipo. Takt time (tiempo disponible para cubrir la demanda de productos). 59 Ejemplo de aplicacin: Empresa Guden 60 Mapa del estado actual Proceso de manufactura 61 Mapa incluyendo informacin 62

Mapa incluyendo tiempos de ciclo y tiempo de entrega 63 Mapa futuro reduciendo tiempos de entrega 64 Mapa futuro reduciendo tiempos de entrega 65 Beneficios 66 Beneficios 67 Mapa de proceso de la Empresa ABC - final

68 Documentacin 69 Procedimientos escritos Los procedimientos deben ser desarrollados por los que tienen la responsabilidad del proceso de inters La documentacin del proceso en un procedimiento facilita la consistencia en el proceso. Los procedimientos crticos deben tener su diagrama de flujo correspondiente 70 Instrucciones de trabajo

Las instrucciones de trabajo proporcionan los pasos detallados de la secuencia de actividades Los diagramas de flujo pueden usarse con las instrucciones de trabajo para mostrar las relaciones de los pasos del proceso. Las copias controladas de estas instrucciones se guardan en el rea de trabajo 71 IIIA.2 Entradas y salidas del proceso 72 Mapa de procesos SIPOC Mapa de proceso SIPOC (Proveedores, Entradas, Salidas, Clientes) Entradas Procesos y sistemas

Salidas Proveedores Clientes Retroalimentacin Retroalimentacin Banco de informacin 73 Elementos de procesos SIPOC Un cambio en la Salida debe estar relacionado con algn cambio en los pasos anteriores SIPs. Esto forma un ciclo cerrado entre SIPs y Os. Modelo SIPOC Proveedores de recursos Entradas,

insumos Procesos, actividades que agregan valor Salidas, producto o servicio Clientes, reciben el producto 74 Matriz de causa efecto Relacin entre entradas y salidas de procesos La matriz lista variables clave de salida del proceso en forma horizontal y las de entrada en forma vertical Para cada variable de salida se le asigna una prioridad Dentro de la matriz se asignan nmeros que indican el efecto que tiene cada variable de entrada en las variables de salida

Se obtiene la suma producto de estos nmeros internos por la prioridad de salida como resultados y se saca el porcentaje relativo 75 Matriz de causa efecto Entradas y salidas del proceso Matriz de causa efecto Antes de mejorar un proceso, primero debe medirse, identificando sus variables de entrada y de salida, y documentando su relacin en diagramas de causa Salidas efecto, matrices de relacin, diagramas de flujo, etc. A B C D E Importancia

3 1 6 10 4 Ent 1 2 3 6 4 2 Ent 2 Ent 3 Ent 4 Ent 5

7 5 Res % 84 35 63 27 25 11 22 9 42 18

Totales 236 100 3 1 6 4 2 3 76 III.B Probabilidad y estadstica 77 IIIB. Probabilidad y estadstica 1. Obtencin de conclusiones estadsticas vlidas 2. Teorema del lmite central y distribucin muestral de la media

78 IIIB.1 Obtencin de conclusiones estadsticas vlidas 79 Estadstica Descriptiva La estadstica nos proporciona mtodos para organizar y resumir informacin, usndola para obtener diversas conclusiones Por ejemplo, s deseamos saber el promedio de peso de las personas en una poblacin tenemos dos opciones: Pesar a todas y cada una de las personas, anotar y organizar los datos, y calcular la media. Pesar solo una porcin o subconjunto de la poblacin (muestra). Registrar y organizar los datos y calcular la media de la muestra, Estadstica Descriptiva Poblacin: Es la coleccin de todos los elementos (piezas, personas, etc.). En nuestro caso sera un nmero infinito de mediciones

de la caracterstica del proceso bajo estudio. Muestra: Es una parte o subconjunto representativo de la poblacin, o sea un grupo de mediciones de las caractersticas. 81 Estadstica Descriptiva Estadstico: Es una medicin tomada en una muestra que sirve para hacer inferencias en relacin con una poblacin (media de la muestra, desviacin estndar de la muestra se indican con letras latinas X, s, p). Normalmente es una variable aleatoria y tiene asociada una distribucin. Parmetro: Es el valor verdadero en una poblacin (media, desviacin estndar, se indican con letras griegas , , ) 82 Estadstica Descriptiva Datos continuos Los datos que tienen un valor real (temperatura, presin, tiempo, dimetro, altura ) Datos discretos: Datos que toman valores enteros (0, 1, 2, 3, etc.) Datos por atributos: Bueno - malo, pasa - no

pasa, etc. 83 Estadstica Descriptiva No existen en la naturaleza dos cosas exactamente iguales, ni siquiera los gemelos, por tanto la variacin es inevitable y es analizada por la Estadstica 84 Estadstica descriptiva e inferencial Estudios descriptivos enumerativos : Los datos enumerativos son los que pueden ser contados. Para Deming: En un Estudio enumerativo la accin se toma en el universo. En un estudio analtico la accin ser tomada en un proceso para mejorar su desempeo futuro

85 Obteniendo conclusiones vlidas Obtencin de conclusiones estadsticas vlidas El objetivo de la estadstica inferencial es obtener conclusiones acerca de las caractersticas de la poblacin (parmetros , , ) con base en la informacin obtenida de muestras (estadsticos X, s, r) Los pasos de la estadstica inferencial son: La inferencia La evaluacin de su validez 86 Obteniendo conclusiones vlidas

Los pasos de la estadstica inferencial son: Definir el objetivo del problema en forma precisa Decidir si el problema se evaluar con una o dos colas Formular una hiptesis nula y la alterna Seleccionar una distribucin de prueba y un valor crtico del estadstico reflejado el grado de incertidumbre que puede ser tolerado (alfa, riesgo) 87 Obteniendo conclusiones vlidas Los pasos de la estadstica inferencial son:

Calcular el valor del estadstico de prueba con la informacin de la muestra Comparar el valor del estadstico calculado vs su valor crtico y tomar una decisin de aceptar o rechazar la hiptesis nula Comunicar los hallazgos a las partes interesadas 88 Obteniendo conclusiones vlidas Hiptesis nula a ser probada (Ho) y alterna (Ha) La hiptesis nula puede ser rechazada o no ser rechazada no puede ser aceptada

La hiptesis alterna incluye todas las posibilidades que no estn en la nula y se designa con H1 o Ha. Ho: Ya = Yb Ha: Ya Yb Ho: A B Ha: A

Se toma una decisin de rechazar o no rechazar la hiptesis nula 90 Obteniendo conclusiones vlidas Tipos de errores: Error tipo I: resulta cuando se rechaza Ho siendo verdadera, se denomina como alfa o riesgo del productor Error tipo II: resulta cuando no se rechaza Ho siendo que es falsa, es denominado beta o riesgo del consumidor Incrementando el tamao de muestra se reducen alfa y beta. Alfa es normalmente 5%. Alfa y beta son inversamente relativos 91

IIIB.2 Teorema del lmite central y distribucin muestral de la media 92 Teorema del lmite central La distribucin de las medias de las muestras tiende a la normalidad independientemente de la forma de la distribucin poblacional de la que sean obtenidas. Es la base de las cartas de control X-R. 93 Teorema del lmite central Por lo anterior la dispersin de las medias es menor que para los datos individuales Para las medias muestrales, el error estndar de la media se relaciona con la desviacin

estndar de la poblacin como sigue: X sX n 94 Teorema del Lmite Central La distribucin de las medias de las muestras tienden a distribuirse en forma normal Por ejemplo los 300 datos (cuyo valor se encuentra entre 1 a 9) pueden estar distribuidos como sigue: 50 40 30 Frec. 20 10 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 95 Teorema del Lmite Central Poblacin con media y desviacin estndar y cualquier distribucin. Seleccionando muestras de tamao n y calculando la X-media o promedio en cada una X-media 1

X-media 2 X-media 3 Conforme el tamao de muestra se incrementa las muestras se distribuyen normalmente con media de medias y desviacin estndar de las medias de las muestras / n. Tambin se denomina Error estndar de la media. Teorema del Lmite Central La distribucin de las medias de las muestras tienden a distribuirse en forma normal Tomando de muestras de 10 datos, calculando su promedio y graficando estos promedios se tiene: 10 8 6 Frec. 4 2

0 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 97 Cartas de Control Causas normales o comunes Causa especial

DEFINICION Es una ayuda grfica para el control de las variaciones de los procesos administrativos y de manufactura. 98 Variacin observada en una Carta de Control Una Carta de control es simplemente un registro de datos en el tiempo con lmites de control superior e inferior, diferentes a los lmites de especificacin. El patrn normal de un proceso se llama causas de variacin comunes. El patrn anormal debido a eventos especiales se llama causa especial de variacin. 99 Variacin Causas comunes

Lmite inf. de especs. Lmite sup. de especs. Objetivo 100 Variacin Causas especiales Lmite inf. de especs. Lmite sup. de especs. Objetivo 101 Aplicacin en la carta de control Escuche la Voz del Proceso Regin de control, M E

D I D A S C A L I D A D captura la variacin natural del proceso original LSC LIC Tendencia del proceso Causa Especial El proceso ha cambiado identifcada

TIEMPO Patrones Fuera de Control Corridas 7 puntos consecutivos de un lado de X-media. Puntos fuera de control 1 punto fuera de los lmites de control a 3 sigmas en cualquier direccin (arriba o abajo). Tendencia ascendente o descendente 7 puntos consecutivos aumentando o disminuyendo. Adhesin a la media 15 puntos consecutivos dentro de la banda de 1 sigma del centro. Otros 2 de 3 puntos fuera de los lmites a dos sigma 103 Patrn de Carta en Control Estadstico Proceso en Control estadstico Sucede cuando no se tienen situaciones anormales y aproximadamente el 68% (dos tercios) de los puntos de la carta se encuentran dentro del 1 de las medias en la carta de control.

Lo anterior equivale a tener el 68% de los puntos dentro del tercio medio de la carta de control. 104 Aplicacin en Intervalos de confianza Intervalo de confianza para la media: A) Sigma conocida y n>30 (n es tamao de muestra) X Z n 2 X t 2

n B) Sigma desconocida y n<30, los grados de libertad son gl = n-1. 105 Aplicacin en Intervalos de confianza Intervalo de confianza para proporciones y varianza: Para proporciones, p es la proporcin y n>30 p (1 p ) n p Z 2

Para la varianza ( n 1) s 2 2 ,n 1 2 2 ( n 1) s 2 2

1 2 ,n 1 106 IIIB.3 Conceptos bsicos de probabilidad 107 Conceptos bsicos de probabilidad Principios bsicos:

La probabilidad de un evento varia entre 0 y 1 (xito) Un evento simple no puede descomponerse El conjunto de resultados posibles del experimento se denomina espacio muestral La suma de las probabilidades en el espacio muestra es 1 Si se repite un experimento un gran nmero de veces N y el evento E es observado nE veces, la probabilidad de E es aproximadamente: n P( E ) E N 108 Conceptos bsicos de probabilidad Eventos compuestos (conjunto de dos o ms eventos):

La unin de A o B contiene elementos de A o de B La interseccin de A y B contiene elementos comunes que se localizan al mismo tiempo en A y en B 109 Probabilidad Introduccin: Diferencia entre experimento deterministico y aleatorio (estocastico). Deterministico. Se obtienen el mismo resultado, con condiciones experimentales similares La cada de un cuerpo Aleatorio. Se obtienen distintos resultados , aunque se repitan en condiciones similares. Tiempo de vida de un componente elctrico 110 Conceptos relacionados a experimentos aleatorios:

Variable aleatoria. Es el nombre Que se le da a la caracterstica (s) de inters observada en un experimento. Dicha variable es denotada por letras maysculas. Pueden ser Continuas o Discretas. Espacio muestra. Es el conjunto de todos los posibles valores Que toma una variable aleatoria en un experimento. Puede ser finito o infinito. Evento. Puede ser uno o una combinacin de los valores Que toma una variable aleatoria 111 Espacio Muestral Consiste en todos los posibles resultados de un experimento. Para el lanzamiento de una moneda es (A,S). 112 Probabilidad histrica o frecuentista. Una forma de conocer algo acerca del comportamiento de una variable aleatoria es conociendo como se comporto en el pasado. Note Que si un experimento se realizo un gran numero de veces, N, y la se observo Que en n veces suceda el evento A, entonces n/N es un estimacin razonable de la proporcin de tiempos Que el evento

A suceder en el futuro. Para un gran numero de experimentos N, se puede interpretar dicha proporcin como la probabilidad de del evento A. n P ( EventoA) lim N N 113 Ejemplo en los 1900-s , Karl Pearson lanzo una moneda 24,000 veces y obtuvo 12,012 caras, dando una proporcin de 0.5005. probabilidad de caras 1 .5 0 0 500

n 1000 114 Definicin Clsica de Probabilidad. La probabilidad de un evento A, puede ser calculada mediante la relacin de el numero de respuestas en favor de A, y el numero total de resultados posibles en un experimento. P ( EventoA) # Favorable A # Total resultados Note Que para las dos definiciones dadas de probabilidad esta ser un numero entre 0 y 1. Ejemplo 1. Se observa si 3 artculos tienen defecto o no , con defecto (m) o sin defecto (v). S={vvv,mvv,vmv,vvm,vmm,mvm,mmv,mmm} es el espacio muestral . Asociada a este espacio muestral se puede definir la variable Probabilidades de Eventos

1. P(E) 0 2. P(S) = 1 3. Si E1,En son mutuamente disjuntos entonces n n P Ei P ( Ei ) i 1 i 1 Resultados 1. Si A B entonces P(A) P(B) 2. Si P(Ec)=1-P(E) 3. P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) 4. Si B1B2Bn = S entonces n P ( E ) P ( E Bi ) i 1 116 Ejemplo: Datos (N=20): 650 740 760 810 850 850 880 900 930 930 950 960

960 980 980 980 1000 1000 1000 1070 El experimento: Seleccionamos al azar un numero ? Cul es S? Sea E el evento en el que elegimos el 1000? P(E) = Sea E el evento l numero es menor o igual a 760. P(E) = P(Ec) = 117 Sea E1 el evento en el cual elegimos 1000 y E2 es el evento en el cual elegimos un numero menor o igual a 760. P(E1E2) = Sea E1 el evento en el cual elegimos 850 y E2 sea el evento el cual obtenemos un numero menor a 880. P(E1E2) = 118 Leyes de probabilidades 1. En un experimento, si P(A) e la probabilidad de un evento A, entonces la probabilidad de Que no suceda A es: P ( A ) 1 P ( A)

2. En un experimento, si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de Que ocurra A o el evento B es P( A o B ) P ( A) P ( B ) Para el caso de dos eventos A y B Que no son mutuamente excluyentes. P( A o B ) P ( A) P ( B ) P ( AyB ) A las dos ecuaciones se les conoce como Reglas de la probabilidad Ley de la Adicin Si 2 eventos A y B no son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad que el evento A o el evento B ocurra es:

P(A or B) P(A) P(B) P(AB) Ley de la Multiplicacin probabilidad ambos| A y B ocurran es P(AB)que P(A B)P(B) P(B | A)P(A) Cuando los eventos A y B son independientes, entonces P(AB) P(A)P(B) P(A|B) = P(A) y 120 Permutaciones Definicin. Un arreglo ordenado de r objetos diferentes es llamado una permutacin . El numero resultante de ordenar n objetos diferentes

tomando r a la vez ser representado por el smbolo Prn Antes revisemos el concepto de factorial !!!!!! Considere el siguiente caso: Hay 3 libros: Uno de Historia (H), Uno de Fsica (F), Otro de Matemticas (M). Note Que existen 6 formas de acomodar dichos libros. { HFM, HMF, FHM, FMH, MHF, MFH } Aqu importa el orden Diagramas de rbol En casos simples resultan tiles los diagramas de rbol para enumerar objetos en forma sistemtica. Ejemplo: Se desea conocer todas las formas posibles de hacer un experimento que consiste en 4 componentes de auto a {L1, L2, L3, L4}, entonces cada componente es sometido a tres diferentes temperaturas de {A1, A2, A3} hasta que se obtiene una falla. A1 L1 L2 L3 L4 A2

A3 A1 A2 A3 12 tratamientos A1 A2 A3 A1 A2 A3 122 El numero de formas de ordenar n objetos distintos en n lugares diferentes es : n ! n ( n 1)( n 2 )...( 2 )(1) n! se lee como n factorial Que pasa cuando tenemos solo r lugares para acomodar n objetos, tal Que n es mayor o igual que r? En este caso el numero de arreglos resulta ser: n

n(n 1)(n 2)...(n [r 2])(n [r 1]) Pr n! n Pr (n r )! 123 Ejemplo: Suponga que a un grupo de motores se les aplicara un tratamiento que consiste en dos aplicaciones de diferentes intensidades de presin. Hay 10 diferentes intensidades y el orden de administrar las intensidades es importante, cuantos motores se ocupan si cada tratamiento se tiene que llevar a cabo?. 10 intensidades (i1,i2,,i10 ) y 2 aplicaciones. Nos interesa contar los pares (i1,12),(i1,i3),.. 10! 10 P2 90. 8! 124 Combinaciones

Una combinacin es un arreglo de distintos elementos , en donde una combinacin difiere de otra solamente si el contenido del arreglo es distinto. !! En este caso no es importante el orden de los objetos !! Definicin. (Combinaciones). El numero de combinaciones de n objetos tomando r a la vez es el numero de maneras de formar un subconjunto de tamao r de los n objetos. Esto se denota como: n C r n r 125 Teorema 2. n n P n! r

n Cr r! r !( n r )! r Ejemplo: En un lote de produccin 100 chips de computadora, un comprador desea adquirir 10 chips, de cuantas formas se pueden seleccionar 10 chips de ese lote?. n n! 100! C r r !(n r )! 10!(100 10)! n r 126 IIIC. Coleccin y resumen de datos 127

Coleccin y resumen de datos 1. Tipos de datos y escalas de medicin 2. Mtodos de coleccin de datos 3. Tcnicas para asegurar la exactitud e integridad de los datos 4. Estadstica descriptiva 5. Mtodos grficos 128 IIIC. 1 Tipos de datos y escalas de medicin 129 Tipos de datos Datos por atributos Son datos discretos enteros, por ejemplo 3, 45, 2032. Cuenta, unidades, ocurrencias, bueno malo. Datos por variables

Las variables son datos continuos medibles con instrumentos con nmeros reales, por ejemplo 1.037, 4.69, etc. Longitud, tiempo, volumen, tensin. Es preferible tener informacin por variables, proporcionan mayor informacin. 130 Tipos de datos Datos de localizacin Contestan a la pregunta Dnde?. Las cartas que utilizan datos de localizacin de defectos se denominan Measless charts o Cartas de concentracin. Por ejemplo mapas con oficinas de distribucin; defectos de pintura en un automvil. Conversin de datos por atributos a variables

10 desportilladuras se pueden reportar como una longitud total de 8.37; 25 rayas de pintura como 3.2 cuadradas de rayones de pintura. 131 Escalas de medicin En funcin de la deseabilidad estadstica se tiene: Escala Descripcin Ejemplo Nominal Datos como nombres o categoras. No hay orden Bolsa con dulces de colores: 15 amarillos, 10 rojos, 7 verdes Ordinal (rango)

Los datos estn ordenados pero sus diferencias no pueden determinarse ni tienen sentido Defectos A ms crticos que los defectos D se tabulan como: A 16, B 32, C 42, D 30 Intervalo Los datos se arreglan por Razn orden y diferencia. No hay punto de inicio de ref. y la razn no tiene significado La temperatura de 3 lingotes es de 200C, 400C y 600C. Notar que 3 veces 200C no es lo mismo que 600C en T. Similar al anterior con un punto cero inicial. Tanto las

diferencias como las razones El producto A cuesta $300 y el B $600. Notar que 132 $600 es tanto como dos Escalas de medicin Medidas estadsticas para las escalas de medicin Escala Localizacin central Dispersin Prueba de significancia Nominal Moda Solo informativa Chi cuadrada

Ordinal (rango) Mediana Pocentajes Prueba de signos o rachas Desviacin media o estndar Prueba t, Prueba F, Anlisis de correlacin Variacin pocentual Similar al anterior Intervalo Media aritmtica

Razn Media geomtrica o media armnica 133 IIIC. 2 Mtodos de coleccin de datos 134 Mtodos de coleccin de datos Incluye mtodos manuales y automticos. Guas: Formular una clara descripcin del problema Definir de manera precisa lo que se va a medir Listar todas las caractersticas importantes a medir

Cuidadosamente seleccionar la tcnica de medicin 135 Mtodos de coleccin de datos Incluye mtodos manuales y automticos. Construir un formato sencillo de registro Decidir quin colectara los datos Establecer un mtodo de muestreo apropiado Decidir quien analizar e interpretar los resultados Decidir quien reportar los resultados

136 Tipos de informacin para proyectos Atributos Variables Caliper PASA NO PASA ORDEN DE ENVIO CIUDAD UNIDAD DESCRIPCION TOTAL 1 $10.00 $10.00

3 $1.50 $4.50 10 $10.00 $10.00 2 $5.00 $10.00 FALLA Error Tiempo PASA TEMPERATURE

Termmetro Circuito Elctrico 137 Plan de recoleccin de datos Un plan de Recoleccin de Datos relacionada con las CTQs de inters es la documentacin de: Qu informacin se va a recolectar Por qu se necesita Quin es responsable Cmo se va a recolectar Cundo se va a recolectar Dnde se va a recolectar

138 Definiciones operativas El Plan de Recoleccin de Datos debera de basarse en las Definiciones Operativas medibles: Definiciones Operativas ya desarrolladas para los clientes CTQs las Ys Se necesita desarrollar Definiciones Operativas para el proceso Xs Y = (X1, X2, X3, X4Xn) CTQ Proveedor/Entrada/Proceso 139 Mtodos de coleccin de datos

Codificacin de datos Codificar al agregar o restar una constante o multiplicar o dividir por un factor: 140 Mtodos de coleccin de datos Codificacin por substitucin Para una observacin de 32-3/8, los datos pueden codificarse como enteros expresando el nmero de incrementos de 1/8 de desviacin vs el valor nominal. Codificacin por truncamiento o valores decimales repetitivos: Las mediciones como 0.55303, 0.55310, 0.55308 pueden ser registradas como los dos ltimos dgitos, 3, 10, 8. 141 IIIC. 3 Tcnicas para asegurar la

exactitud e integridad de los datos 142 Asegurar exactitud e integridad de los datos Los datos malos corrompen el proceso de toma de decisiones Evitar sesgo emocional respecto a tolerancias Evitar redondeo innecesario Si una caracterstica cambia con el tiempo, registrar la medicin inicial y la posterior a la estabilizacin Filtrar los datos para identificar y eliminar

errores de captura 143 Asegurar la exactitud e integridad de los datos Los datos malos corrompen el proceso de toma de decisiones Si los datos siguen una distribucin normal, determinar si la dispersin de los datos puede ser representada por al menos 8 o 10 incrementos de resolucin. Si no puede ser mejor contar las observaciones. Usar pruebas estadsticas objetivas para identificar outliers o puntos aberrantes Cada identificacin de clasificacin importante debe ser registrada junto con los datos 144

Ventajas del Muestreo Se economizan recursos Se reduce el tiempo Confiabilidad Se pueden proyectar resultados 145 Conceptos bsicos de Muestreo Muestreo: Proceso mediante el cual hacemos inferencia a toda una poblacin observando solo una parte de esta (muestra). Mtodos de muestreo: Es un procedimiento cientfico mediante el cual obtenemos los componentes de una muestra, tratando que la muestra nos de informacin acerca de un parmetro poblacional, y tambin nos permite medir el grado de incertidumbre de equivocarnos en la inferencia. Tipos de muestreo Muestreo aleatorio

Muestreo secuencial En este caso cada parte tiene la misma oportunidad de ser seleccionada Se toman piezas de una lnea continua y se muestrea hasta que se hayan inspeccionado ms de 3 veces el tamao de muestra de un plan de muestreo simple Muestreo estratificado Se seleccionan muestras aleatorias de cada uno de los grupos o procesos diferentes, deben reflejar la frecuencia de los grupos 147 Muestreo Simple Aleatorio Cada uno de los elementos de una poblacin tiene la misma probabilidad de salir en una

muestra. La seleccin se hace generalmente usando nmeros aleatorios (probabilidad uniforme 0,1). Ejemplo: Se tiene una poblacin de 100 artculos. Se desean seleccionar 5. Para obtener la muestra se deben enumerar los 100 artculos y se saca una lista de 5 nmeros al azar entre 1 y 100. ( Usando la computadora generamos una lista de 5 nmeros de la uniforme 0,1 y los multiplicamos por 100 y solo tomamos las Muestreo Sistemtico En este mtodo enumeramos los elementos de la poblacin de 1 a N. La muestra es tomada en intervalos de N/n. (con n= tamao de la muestra). Ejemplo: de los 100 artculos anteriores si muestreamos sistemticamente para n=5. Tomaremos la muestra cada 100/5=20 objetos. (i.e. Tomamos el 1er. Articulo , luego el 20esimo., etc..). Muestreo con probabilidades desiguales. til en poblaciones con mucha variabilidad. Hacemos que aparezcan con mayor los datos grandes o pequeos.

IIIC. 4 Estadstica descriptiva 150 Estadstica descriptiva La estadstica descriptiva incluye: Medidas de tendencia central Medidas de dispersin Funciones de densidad de probabilidad Distribuciones de frecuencia y Funciones acumulativas de distribucin 151 Estadstica descriptiva

Medidas de tendencia central Representan las diferentes formas de caracterizar el valor central de un conjunto de datos xi xi x n Media muestral n poblacional Ejemplo 1: En un equipo de ftbol, una muestra de estaturas de sus integrantes son las siguientes: 1.70,1.79,1.73,1.67,1.60,1.65,1.79,1.84,1.67,1.82, 1.74. Calcule la media. xi 19 x 1.73 n 11 152 Estadstica descriptiva Medidas de tendencia central

Mediana: es el valor medio cuando los datos se arreglan en orden ascendente o descendente, en el caso de n par, la mediana es la media entre los valores intermedios n 2 n 2 1 X~ 2 Ejemplo 2: Para el ejemplo anterior cual es la mediana? Ordenando los datos de mayor a menor se obtiene: 1.60,1.65,1.67,1.67,1.70,1.73,1.74,1.79,1.79,1.82,1.84; como tenemos 11 datos el nmero es non por lo que (n+1)/2 = 12/2 = 6, buscando el nmero que ocupa la sexta posicin en los datos ordenados encontramos el valor de la mediana ~ x 1.73 153 Estadstica descriptiva

Medidas de tendencia central Moda: Valor que ms se repite, puede haber ms de una Media acotada (Truncated Mean): Se elimina cierto porcentaje de los valores ms altos y bajos de un conjunto dado de datos (tomando Ejemplo nmeros 3: Para la siguiente enteros), serie de datos para calcule los la mediavalores acotada al 20%: restantes se 68.7,34.3,97.9,73.4,8.4,42.5,87.9,31.1,33.2,97.7,72.3,54.2,80.6,71.6,82.2, calcula la media. Como tenemos 11 datos, el 20% de 11 es 2.2, por lo cual eliminamos 2 datos el ms bajo y el ms alto, ordenado los datos obtenemos: 8.4,31.1,33.2,34.3,42.5,54.2,68.7,71.6,72.3,73.4,80.6,82.2,87.9,97.7,97.9, los valores a eliminar son: 8.4 y 97.9; calculando la media de los datos restantes obtenemos x ,.20 63.82

154 Estadstica descriptiva 155 Estadstica descriptiva Medidas de dispersin: Rango: Es el valor mayor menos el valor menor de un conjunto de datos Por ejemplo para el conjunto de datos siguiente: 2.0,2.1,2.4,2.5,2.6,2.8,2.9,2.9,3.0,3.1,3.6,3.8,4.0,4.0 Su rango es R = 4.0 2.0 = 2.0 Varianza: es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media (n para poblacin y n-1 para muestra para eliminar el sesgo) 2 ( xi

x ) 2 n ( xi x ) 2 s n 1 2 156 Estadstica descriptiva Medidas de dispersin: Desviacin estndar: es la raz cuadrada de la varianza ya sea poblacional o muestral S 2 ( xi x ) s 2

n 1 ( xi x ) 2 s n 1 Ejemplo 4: La resistencia al rompimiento de dos muestras de botellas es la siguiente: Muestra 1: 230 250 245 258 265 240 Muestra 2: 190 228 305 240 265 260 s= 790 = 12.56 5 s= 7510 = 38.75 5 157 Estadstica descriptiva

Medidas de dispersin: Coeficiente de variacin: es igual a la desviacin estndar dividida por la media y se expresa en porcentaje Coeficient e.de. var iacin CV s (100) X Por ejemplo si la media de tiempos de espera es de 78.7 y su desviacin estndar es 12.14, el CVt: 12.14 CVt (100) 12.05% 78.7 Por otra parte si la media de salarios es de 10 y su desviacin estndar de 2, el CVs de salarios es: 2 CVs (100) 20% 10 Por tanto la dispersin de los salarios es mayor que la de los tiempos de espera, es posible comparar estas dispersiones con el CV aunque los dos conjuntos de datos sean completamente dismbolos. 158

Estadstica descriptiva Funcin de densidad de probabilidad El rea bajo la curva de densidad de probabilidad a la izquierda de un valor dado x, es igual a la probabilidad de la variable aleatoria en el eje x para X<= x Para distribuciones continuas f ( x)d ( x) 1 n f ( x)1

Para distribuciones discretas 0 159 Estadstica descriptiva Funcin de distribucin acumulada Funcin de densidad Funcin de distribucin acumulada x F ( x) f (t )d (t ) 160 Mtodos grficos

Se incluyen los mtodos siguientes: Diagramas de caja Diagramas de tallo y hojas Diagramas de dispersin Anlisis de patrones y tendencias Histogramas Distribuciones de probabilidad normales Distribuciones de Weibull 161 IIIC. 5 Mtodos grficos 162 Mtodos grficos

Diagramas de caja Representan un resumen de los datos. La lnea media es la mediana, los lados son el primer y tercer cuartil. El mximo y el mnimo se dibuja como puntos al final de las lneas (bigotes) 163 Mtodos grficos Diagramas de tallo y hojas El diagrama consiste del agrupamiento de los datos por intervalos de clase, como tallos y los incrementos de datos ms pequeos como hojas. Hojas Tallos 164

Mtodos grficos Diagramas de dispersin Es una grfica de muchos puntos coordenados X-Y que representan la relacin entre dos variables. Tambin se denomina carta de correlacin. Se puede tomar la variable dependiente para el eje Y y la dependiente en el eje X. La correlacin tiene las siguientes fuentes: Una relacin de causa efecto Una relacin entre dos causas Una relacin entre una causa y dos o ms causas 165 Mtodos grficos

Diagramas de dispersin Positiva dbil Negativa fuerte Positiva fuerte Sin correlacin Relaciones no lineales 166 Mtodos grficos Coeficiente de correlacin El coeficiente de correlacin r determina el grado de asociacin entre dos variables X y Y 167

Mtodos grficos Anlisis de correlacin Busca descubrir relaciones, aplicar el sentido comn La lnea de mejor ajuste es la lnea de regresin, sin embargo un anlisis visual debiera ser suficiente para identificar si hay o no hay relacin Los diagramas de dispersin deben ser analizados antes de tomar decisiones sobre correlacin estadstica 168 Mtodos grficos Anlisis de patrones y tendencias

Para visualizar el comportamiento de los datos en el tiempo Tendencia creciente Valores anormales Tendencia decrecienteCorrida de proceso Ciclos Variabilidad creciente 169 Mtodos grficos Anlisis de patrones y tendencias Para visualizar el comportamiento de los datos en el tiempo Tendencia creciente

170 Histogramas 171 Mtodos grficos Histogramas Son grficas de columnas de frecuencia que muestran una imagen esttica del comportamiento del proceso y requieren un mnimo de 50 a 100 puntos La frecuencia en cada barra o intervalo es el nmero de puntos que caen dentro de ese intervalo Un proceso estable muestra un histograma con forma de campana unimodal, es predecible

172 Mtodos grficos Histogramas Un proceso inestable muestra un histograma que no tiene una forma acampanada. Sin embargo los procesos que siguen una distribucin exponencial, lognormal, gamma, beta, Weibull, Poisson, binomial, hipergeomtrica, geomtrica, etc. existen como procesos estables Cuando la distribucin es acampanada, la variacin alrededor de la media es aleatoria, otras variaciones son debidas a causas especiales o asignables. 173 Mtodos grficos Permite ver la distribucin que tienen los procesos de manufactura y administrativos vs. especificaciones

Permiten ver la frecuencia con la que ocurren las cosas. La variabilidad del proceso se representa por el ancho del histograma, se mide en desviaciones estndar o . Un rango de 3 cubre el 99.73%. DEFINICION Un Histograma es la organizacin de un nmero de datos muestra que nos permite visualizar al proceso de manera objetiva. 174 Histograma de Frecuencia Media TAMAO TAMAO TAMAO En un proceso estable las mediciones se distribuyen normalmente, a la derecha y a la izquierda de la media adoptando la forma de una campana. M

E D I C I O N E S TAMAO TAMAO M E D I C I O N E S Histogramas con Datos agrupados El Histograma es una grfica de las frecuencias

que presenta los diferentes datos o valores de mediciones agrupados en celdas y su frecuencia. Una tabla de frecuencias lista las categoras o clases de valores con sus frecuencias correspondientes, por ejemplo: CLASE 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 FRECUENCIA 7 12 19 16 8 4 176 Definiciones - datos agrupados Lmite inferior y superior de clase Son los numeros ms pequeos y ms grandes de las clases

(del ejemplo, 1 y 5; 6 y 10; 11 y 15; 16 y 20; 21 y 25; 26 y 30) Marcas de clase Son los puntos medios de las clases (del ejemplo 3, 8, 13, 18, 23 y 28) Fronteras de clase Se obtienen al incrementar los lmites superiores de clase y al decrementar los inferiores en una cantidad igual a la media de la diferencia entre un lmite superior de clase y el siguiente lmite inferior de clase (en el ejemplo, las fronteras de clase son 0.5, 5.5, 10.5, 15.5, 20.5, 25.5 y 30.5) Ancho de clase Es la diferencia entre dos lmites de clase inferiores Construccin del histograma - datos agrupado Paso 1. Contar los datos (N) Paso 2. Calcular el rango de los datos R = (Valor mayor- valor menor) Paso 3. Seleccionar el nmero de columnas o celdas del histograma (K). Como referencia si N = 1 a 50, K = 5 a 7; si N = 51 - 100; K = 6 - 10. Tambin se utiliza el criterio K = Raz (N) Paso 4. Dividir el rango por K para obtener el ancho de clase Paso 5. Identificar el lmite inferior de clase ms conveniente y sumarle el ancho de clase para formar todas las celdas necesarias Paso 6. Tabular los datos dentro de las celdas de clase Paso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal

Ejemplo: Datos para histograma Datos: 19 21 25 33 30 27 31 25 35 37 44 43

42 39 43 40 38 37 36 42 41 44 32 45 46 47

45 54 52 50 48 49 47 48 49 47 52 51 50

49 58 59 61 62 63 59 61 66 76 70 Ejemplo: Construccin del histograma Paso 1. Nmero de datos N = 50 Paso 2. Rango R = 76 - 16 = 60 Paso 3. Nmero de celdas K = 6; Paso 4. Ancho de clase = 60 / 6 = 10

Paso 5. Lm. de clase: 15-24, 25- 34, 35- 44, 45- 54, 55 - 64, 65-74, 75-94 Paso 6. Nmero de datos: 2 7 14 17 7 2 1 Marcas de clase 19.5 29.5 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 Paso 7. Graficar el histograma y observar si tiene una forma normal Histograma en Excel Accesar el menu de anlisis de datos con HERRAMIENTAS, ANALISIS DE DATOS, HISTOGRAMAS Marcar los datos de entrada en RANGO DE ENTRADA, marcar el rango de los lmites superiores de clase en RANGO DE CLASES, indicar GRAFICA, marcar el rea de resultados con RANGO DE SALIDA y obtener resultados y grfica NOTA: Los datos deben estar en forma no agrupada, Excel forma los grupos en forma automtica o se le pueden proporcionar los lmites de las celdas.

181 Construccin del histograma 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Frec. 1524 2534 3544 4554 5564

6575 182 Otras medidas de Dispersin- Rango, CV Rango: Valor Mayor Valor menor Coeficiente de variacin: (Desv. Estndar / Media *100% Se usa para comparar datos en diferentes niveles de media o tipo. Por ejemplo: Material No. de Media Desviacin Observaciones Aritmtica Estndar n s A B 160 150 1100 800 225 200

Coeficiente de Variacin Srel 0,204 0,250 El Material A tiene una menor variabilidad relativa relativa que el material B 183 Ejercicio de Histogramas Datos: 6.40 6.39 6.39 6.40 6.41 6.37 6.39 6.40 6.40

6.38 6.42 6.40 6.38 6.41 6.40 6.41 6.38 6.43 6.41 6.39 6.41 6.38 6.35 6.40 6.39 6.42 6.41

6.37 6.43 6.40 6.37 6.40 6.43 6.42 6.43 6.39 6.39 6.42 6.42 6.38 6.42 6.39 6.40 6.44 6.38

6.36 6.45 6.44 6.41 6.36 184 IIID. Distribuciones de probabilidad 185 Distribuciones usadas por los Black Belts Distribucin Binomial

Distribucin Poisson Distribucin Normal Distribucin Chi Cuadrada Distribucin t de Student Distribucin F 186 Tipos de variables aleatorias Variable aleatoria: Es aquella funcin que a cada resultado posible de un experimento le asocia un numero real. Se denotan con letras Maysculas: X,Y,Z,etc.... Tipos de variables aleatorias Discretas Continuas 187 Variables aleatorias discretas Es aquella variable que nicamente toma valores susceptibles de contarse. Ejemplo 1: Considere el experimento de tomar al azar una ficha de asistencia de un numero de empleados. Sea X la variable numero de ausencias al ao de un empleado. Note que X toma valores

0,1,2,...,250. Ejemplo 2: Considere un experimento que consiste en medir el numero de artculos defectos de un lote de producto. Si Y es la variable numero de 188 defectos , toma valores 0,1,2,... Distribuciones y funciones de probabilidad Toda variable aleatoria tiene asociada una funcin de probabilidades Ejemplo : Se lanzan dos monedas y observamos el numero Y de caras. Espacio muestral:{a, as, sa, ss} Y toma valores 0,1,2. 189 Funcin de probabilidades para Y. y P(Y=y) 0 1/4

1 1/2 2 1/4 0.51 0.46 0.41 p Grfica P(Y=y ) 0.36 0.31 0.26

-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8 y Y 190 Formula para la distribucin de probabilidades de la tabla anterior 3 3 y y P( y ) P(Y y ) (.5) (.5) y La distribucin de probabilidades puede ser una Tabla, una Grfica o una formula.

191 Requisitos para una distribucin de probabilidad discreta 1. 0 P ( y ) 1 2. P ( y ). toda y En algunas ocasiones la notacin usada es: f X ( x ) P ( X x ) 192 Funciones de distribucin acumulativa La funcin de distribucin de probabilidades acumulativa es calcula sumando las probabilidades obtenidas hasta un determinado valor de la variable aleatoria.

FX ( x) P ( X x) Esta funcin tiene propiedades. 0 F ( x) 1 Limx F ( x) 1 Limx F ( x) 0 193 Funcin de distribucin acumulativa para Y=#de caras 0.9 F(x) 0.7 0.5 0.3 -0.2 0

0.3 0.8 1 y 1.3 1.8 2 194 Valor Esperado o Media de una variable aleatoria discreta La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X , denotada o E(X), X como es X E ( X ) xf X ( x) xP( X x) x x

La media es el centro de la masa del rango de los valores de X. 195 Calculo de la media X defectos para la variable de No. De 4 X xP( X X ) x 0 0 0.805 10.178 2 0.014 3 0.003 4 0 0.215 En este caso note que esta media no toma un valor entero como X 196 0.8 prob 0.6

0.4 0.2 0.0 0 Media 1 X 2 x 3 4 197 Ejercicio: La demanda de un producto es -1,0,1,2 por dia (-1 significa devolucin). Con probabilidades

dadas por 1/5,1/10,2/5,3/10. Calcular la X demanda esperada. 198 Varianza de una variable aleatoria Sea Y una variable aleatoria discreta con distribucin de probabilidades P(X=x). Entonces , la varianza de Y es: 2 2 2 X E[( X X ) ] ( x X ) P( X x) x Medida de dispersin 199 X 2 ( x X ) 2 P ( X x) x

(0 0.215) 2 0.805 (1 0.215) 2 0.178 ( 2 0.215) 2 0.014 (3 0.215) 2 0.003 ( 4 0.215) 2 0 0.2147 200 La desviacin estndar de una variable aleatoria es simplemente la raz cuadrada de la varianza X 2 X 201 Distribuciones Discretas Uniforme discreta. La variable aleatoria toma un numero finito de n valores , cada uno con igual probabilidad. 1 f ( x ) P ( X x ) n

202 Uniforme discreta con n=10 0.15 0.13 prob 0.11 0.09 0.07 0.05 0 2 4 6 8

1e+001 x 203 La media y varianza de la distribucin Uniforme discreta son: (n 1) X 2 2 n 1 2 X 12 Aplicaciones 204 Distribucin hipergeomtrica

Se aplica cuando la muestra (n) es una porporcin relativamente grande en relacin con la poblacin (n > 0.1N). El muestreo se hace sin reemplazo P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x xitos en una muestra de n elementos tomados de una poblacin de tamao N que contiene D xitos. La funcin de densidad de distribucin hipergeomtrica: D N D C x C n x P ( x) N Cn n! C x!(n x)! n x 205 Distribucin hipergeomtrica

La media y la varianza de la distribucin hipergeomtrica son: nD N nD D N n 1 N N N 1 2 206 Distribucin hipergeomtrica Ejemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se seleccionan al azar para prueba. Cul es la probabilidad de que 10 productos seleccionados contengan 5 productos buenos? Los productos defectivos son 5 en el lote. N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5 5! 15!

5!0! 5!10! P (5) 0.0183 20 ! P(x=5) = 0.0183 = 1.83% 10!10! 207 Distribucin Binomial Ensayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. xito o fracaso. Donde la probabilidad de xito se denota por p Suponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes. Suponga que la variable X de inters es el numero de xitos. X toma valores 0,1,2,...,n 208 Distribucin binomial

Se utiliza para modelar datos discretos y se aplica para poblaciones grandes (N>50) y muestras pequeas (n<0.1N). El muestreo binomial es con reemplazamiento. Es apropiada cuando la proporcin defectiva es mayor o igual a 0.1. La binomial es una aproximacin de la hipergeomtrica La distribucin normal se paroxima a la binomial cuando np > 5 209 La variable aleatoria X tiene una distribucin binomial n x n x f ( x) P ( X x) p (1 p ) x x 0,1,..., n

Tiene media y varianza. E ( X ) X np 2 X V ( X ) np(1 p ) 210 Distribucin de Poisson Se utiliza para modelar datos discretos Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor a 0.1, y el tamao de muestra es grande (n > 16) por tanto np > 1.6 211 Distribucin de Poisson Una Variable aleatoria X tiene distribucin Poisson si toma probabilidades con. e f ( x)

x! x x 0,1,... np np 212 La Distribucin Normal 213 IMPORTANCIA IMPORTANCIA DE DE LA LA DISTRIBUCIN DISTRIBUCIN NORMAL NORMAL braham de Moivre

Simon de Laplace Carl Gauss Francis Galton Los Los primeros primeros industriales industriales frecuentemente frecuentemente se se basaban basaban en en el el conocimiento conocimiento de de limites limites normales normales para para clasificar clasificar artculos artculos oo procesos

procesos como como correctos correctos oo de de otro otro modo. modo. Por Por ejemplo, ejemplo, el el colesterol colesterol arriba arriba de de 250 250 mg/dl mg/dl es es ampliamente ampliamente conocido conocido que que incrementa incrementa el el riesgo riesgo de de un un paro paro cardiaco.

cardiaco. Una Una determinacin determinacin precisa precisa -- pudiera pudiera ser ser asunto asunto de de vida vida oo muerte. muerte. Sin Sin embargo embargo ,, no no todas todas las las variables variables son son normales. normales. Por Por ejemplo: ejemplo: urea urea yy ph ph

CARACTERISTICAS CARACTERISTICAS DE DE UNA UNA DISTRIBUCIN DISTRIBUCIN NORMAL NORMAL La La curva curva normal normal es es acampanada acampanada yy tiene tiene un un solo solo pico pico en en toda toda la la distribucin. distribucin. La La media, media, mediana,

mediana, yy moda moda de de la la distribucin distribucin son son las las mismas mismas yy estn estn localizadas localizadas en en el el pico. pico. La La mitad mitad del del rea rea de de la la curva curva esta esta arriba arriba del del punto punto central

central (pico), (pico), yy la la otra otra mitad mitad esta esta abajo. abajo. La La distribucin distribucin normal normal es es simtrica simtrica alrededor alrededor de de su su media. media. Es Es asintotica asintotica -- la la curva curva se se acerca acerca aa eje eje xx pero pero

nunca nunca lo lo toca. toca. CARACTERISTICAS CARACTERISTICAS DE DE UNA UNA DISTRIBUCION DISTRIBUCION NORMAL NORMAL La Normal is simtrica - Cola Tericamente, la curva se extiende a Cola Media, mediana, y moda son Tericamente, la curva se extiende

a + infinito 217 Distribucin Normal Distribucin de la Funcin Normal 1 t 2 1 f( t ) exp 2 2 Funcin de Densidad de Probabilidad Normal 0.0140 0.0120 = 500 = 30 = 50 = 70 f(t)

0.0100 0.0080 0.0060 0.0040 0.0020 0.0000 200 400 600 Tiempo 800 1000 218 Curvas Curvas Normales Normales con con Medias Medias iguales iguales pero pero

Desviaciones Desviaciones estndar estndar diferentes diferentes 3.9 3.9 == 5.0 5.0 Normales Normales con con Medias Medias yy Desviaciones Desviaciones estndar estndar diferentes diferentes = = 5, 5, == 33 == 9,

9, = = 66 == 14, 14, == 10 10 La distribucin Normal estndar La distribucin normal estndar es una distribucin de probabilidad que tiene media 0 y desviacin estndar de 1. El rea bajo la curva o la probabilidad desde menos infinito a ms infinito vale 1. La distribucin normal es simtrica, es decir cada mitad de curva tiene un rea de 0.5. La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estndar, su nmero se describe con Z. Para cada valor Z se asigna una probabilidad o rea221 bajo Las distribuciones pueden variar en: POSICIN AMPLITUD FORMA O TENER CUALQUIER COMBINACION

222 La Distribucin Normal Para la poblacin - se incluyen TODOS los datos Para la muestra X x-3s x-2s

x-s x x+s x+2s x+3s 223 La Distribucin Normal Estndar La desviacin estndar sigma representa la distancia de la media al punto de inflexin de la curva normal X x-3 x-2 x- x

x+ x+2 x+3 z -3 -2 -1 0 1 2 3 224 AREA AREA BAJO BAJO LA

LA CURVA CURVA NORMAL NORMAL Alrededor Alrededor de de 68 68 % % del del area area bajo bajo la la curva curva normal normal est est entre entre ms ms una una yy menos menos una una desviacin desviacin estndar estndar de de la la media. media. Esto

Esto puede puede ser ser escrito escrito como: como: m m 1s. 1s. Cerca Cerca del del 95 95 % % del del rea rea bajo bajo la la normal normal est est entre entre ms ms yy menos menos 22 desviaciones desviaciones estndar estndar de

de la la media, media, m m 2s. 2s. Prcticamente Prcticamente toda toda (99.74 (99.74 %) %) el el rea rea bajo bajo la la normal normal esta esta entre entre 33 desviaciones desviaciones de de la la media media m m

3s. 3s. Clculos con Excel Dist. Normal Estndar Distribucin normal estndar con media = 0 y desviacin estndar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s 1. rea desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue: - Colocarse en una celda vaca Accesar el men de funciones con Fx, ESTADSTICAS, DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el rea requerida Z Area 2. Un valor de Z especfico para una cierta rea (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue: - Colocarse en una celda vaca - Accesar el men de funciones con Fx, ESTADSTICAS, o DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del rea y se obtiene la Z 226 Entre:

Entre: 1. 1. 68.26% 68.26% 2. 2. 95.44% 95.44% 3. 3. 99.97% 99.97% Caractersticas de la Distribucin Normal 68% 34% 34% +1s 95%

+2s 99.73% +3s 228 El valor de Z Determina el nmero de desviaciones estndar entre algn valor x y la media de la poblacin, mu Donde sigma es la desviacin estndar de la poblacin. En Excel usar Fx, ESTADISTICAS, NORMALIZACIN, para calcular el valor de Z z= x- Proceso con media =100 y desviacin estndar = 10 70

80 90 100 110 120 130 68% 34% 34% 90 110 68% 80 95% 68% 2.356% 70

99.73% 120 2.356% 130 reas bajo la curva normal 231 Clculos con Excel Dist. Normal Estndar Distribucin normal estndar con media = 0 y desviacin estndar = 1: Para Z = (X - Xmedia )/ s 1. rea desde menos infinito a un valor de Z se obtiene como sigue: - Colocarse en una celda vaca Accesar el men de funciones con Fx, ESTADSTICAS, DISTR.NORM.ESTAND, dar valor de Z y obtener el rea requerida Z Area 2. Un valor de Z especfico para una cierta rea (por ejemplo

0.05) se obtiene como sigue: - Colocarse en una celda vaca - Accesar el men de funciones con Fx, ESTADSTICAS, o DISTR.NORM.ESTAND.INV, dar valor del rea y se obtiene la Z Clculos con Excel Distr. Normal Distribucin normal, dadas una media y desviacin estndar: 1. rea desde menos infinito a X se obtiene como sigue: - Colocarse en una celda vaca - Accesar el men de funciones con Fx, ESTADSTICAS, DISTR.NORM, dar el valor de X, Media, Desviacin Estndar s, VERDADERO y se obtendr el rea requerida X Area 2. Un valor de X especfico para una cierta rea (por ejemplo 0.05) se obtiene como sigue: - Colocarse en una celda vaca - Accesar el men de funciones con Fx, ESTADSTICAS, DISTR.NORM.INV, dar el valor del rea, Media y Desviacin Estndar y se obtendr el valor de la X Calculo Calculo de de Probabilidades

Probabilidades normales normales 1. 1. Identificar Identificar la la variable variable de de inters. inters. 2. 2. Identificar Identificar los los parmetros parmetros de de la la variable variable (su (su media media yy desv. desv. estndar). estndar). 3. 3. Cual Cual es es la la pregunta

pregunta rea rea bajo bajo la la curva curva de de probabilidad probabilidad normal? normal? 4. 4. Convertir Convertir los los valores valores aa la la distribucin distribucin normal normal estndar estndar (estandarizacin (estandarizacin ZZ = = (X-Media)/S) (X-Media)/S) .. 5. 5. Encuentre Encuentre la la probabilidad probabilidad en

en tabla tabla de de la la normal normal estndar estndar oo por por Excel. Excel. Ejemplo Ejemplo El El agua agua usada usada diariamente diariamente por por persona persona en en Mxico Mxico est est distribuida distribuida normalmente normalmente con con media media 20

20 litros litros yy una una desviacin desviacin de de 55 lts.. lts.. Entre Entre que que valores valores cae cae cerca cerca del del 68% 68% el el agua agua usada usada por por una una persona persona en en Mexico? Mexico?

m m 1s 1s = = 20 20 1(5). 1(5). Esto Esto es, es, cerca cerca del del 68% 68% de de la la cantidad cantidad usada usada por por persona persona cae cae entre entre 15 15 lts. lts. yy 25 25 lts..

lts.. De De manera manera similar similar para para 95% 95% yy 99%, 99%, el el intervalo intervalo ser ser de de 10 10 lts lts aa 30 30 lts lts yy 55 lts lts aa 35 35 lts. lts. Ejemplo Ejemplo El

El agua agua usada usada diariamente diariamente por por persona persona en en Mxico Mxico es es distribuida distribuida normalmente normalmente con con media media 20 20 litros litros yy una una desviacin desviacin de de 55 lts. lts. Sea Sea XX el el uso uso diario diario de de agua.

agua. Cual Cual es es la la probabilidad probabilidad que que una una persona persona seleccionada seleccionada al al azar azar use use menos menos de de 20 20 lts./dia? lts./dia? El El valor valor zz asociado asociado es es zz = = (20

(20 -- 20)/5 20)/5 = = 0. 0. entonces, entonces, P(X P(X < < 20) 20) = = P(z P(z < < 0) 0) = = 0.5. 0.5. Ejemplo Ejemplo Que Que porciento porciento usa usa entre entre 20 20 yy 24 24 lts? lts?

El El value value zz asociado asociado con con XX = = 20 20 es es zz = = 00 yy con con XX = = 24, 24, zz = = (24 (24 -- 20)/5 20)/5 = = 0.8. 0.8. Entonces, Entonces, P(20 P(20 < < XX < < 24) 24) = = P(0 P(0 < < zz <

< 0.8) 0.8) = = P(0.8) P(0.8) -- P(0) P(0) = = 0.78810.7881- 0.5 0.5 = = 0.2881 0.2881 oo 28.81%. 28.81%. Que Que porciento porciento usa usa entre entre 16 16 yy 20 20 lts? lts?

El El valor valor z1 z1 para para XX = = 16 16 es es z1 z1 = = (16 (16 -- 20)/5 20)/5 = = -0.8, -0.8, yy para para XX = = 20, 20, z2 z2 = = 0. 0. Entonces, Entonces, P(16 P(16 < < XX < < 20) 20) =

= P(-0.8 P(-0.8 < < zz < < 0) 0) = = P(0) P(0) -- P(-0.8) P(-0.8) = = 0.5 0.5 -- 0.2119 0.2119 = = 0.2881 0.2881 = = 28.81%. 28.81%. P(0 P(0 < < zz < < 0.8) 0.8) = = 0.2881. 0.2881.

0.8 0.8 Ejemplo Ejemplo Cual Cual es es la la probabilidad probabilidad que que una una persona persona seleccionada seleccionada al al azar azar use use mas mas de de 28 28 lts? lts? El

El valor valor zz asociado asociado aa XX = = 28 28 es es zz = = (28 (28 -- 20)/5 20)/5 = = 1.6. 1.6. Ahora, Ahora, P(X P(X > > 28) 28) = = P(z P(z > > 1.6) 1.6) = = 11 -- P(z P(z < < 1.6) 1.6) = = 11 -- 0.9452 0.9452 =

= 0.0548. 0.0548. P(z P(z > > 1.6) 1.6) = = 11 -- 0.9452= 0.9452= 0.0548 0.0548 Area Area = = 0.9452 0.9452 z Ejemplo Ejemplo

Que Que porcentaje porcentaje usa usa entre entre 18 18 yy 26 26 lts? lts? El El valor valor zz asociado asociado con con XX = = 18 18 es es zz = = (18 (18 -- 20)/5 20)/5 = = -0.4, -0.4, yy para para XX = = 26, 26, zz = = (26

(26 -- 20)/5 20)/5 = = 1.2. 1.2. entonces, entonces, P(18 P(18 < < XX < < 26)= 26)= P(-0.4 P(-0.4 < < zz < < 1.2) 1.2) = = F(1.2) F(1.2) -- F(-0.4)= F(-0.4)= 0.8849 0.8849 -- 0.3446 0.3446 = = 0.5403. 0.5403. Ejemplos El tiempo de vida de las bateras del conejito tiene una

distribucin aproximada a la normal con una media de 85.36 horas y una desviacin estndar de 3.77 horas. Qu porcentaje de las bateras se espera que duren 80 horas o menos? Cul es la probabilidad de que una batera dure entre 86.0 y 87.0 horas? Cul es la probabilidad de que una batera dure ms de 87 horas? 242 rea bajo la curva normal Que porcentaje de las bateras se espera que duren 80 horas o menos? Z = (x-mu) / s Z = (80-85.36)/(3.77)= - 5.36/ 3.77 = -1.42 80

-1.42 85.36 0 rea bajo la curva normal Cul es la probabilidad de que una batera dure entre 86.0 y 87.0 horas? 85.36 86 87 0 1 rea bajo la curva normal Cul es la probabilidad de que una batera dure ms de 87 horas? 85.36 87 1.67 = .33 33% de las veces una batera durar ms de 87 horas Ejercicios Considere

Considere una una media media de de peso peso de de estudiantes estudiantes de de 75 75 Kgs. Kgs. con con una una desviacin desviacin estndar estndar de de 10Kgs. 10Kgs. Contestar Contestar lo lo siguiente: siguiente: Cul Cul es es la la probabilidad probabilidad de de que

que un un estudiante estudiante pese pese ms ms de de 85Kgs.? 85Kgs.? 2. 2. Cul Cul es es la la probabilidad probabilidad de de que que un un estudiante estudiante pese pese menos menos de de 50Kgs.? 50Kgs.? 3. 3. Cul Cul es es la

la probabilidad probabilidad de de que que pese pese entre entre 60 60 yy 80 80 Kgs.?. Kgs.?. 4. 4. Cul Cul es es la la probabilidad probabilidad de de que que pese pese entre entre 55 55 yy 70 70 Kgs.? Kgs.? 5. 5. Cul Cul es

es la la probabilidad probabilidad de de que que pese pese entre entre 85 85 yy 246 100Kgs.? Distribucin Exponencial Se usa para modelar artculos con una tasa de falla constante y est relacionada con la distribucin de Poisson. Si una variable aleatoria x se distribuye exponencialmente, entonces el recproco de x, y = 1/x sigue una distribucin de Poisson y viceversa.

La funcin de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0 x 1 f ( x) e e x 247 Distribucin Exponencial Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la media La funcin de densidad de la distribucin exponencial 248 Distribuciones muestrales 249 A las distribuciones de los estadsticas

muestrales se les llama distribuciones muestrales. POBLACION 250 Distribuciones Derivadas del muestreo de Poblaciones Normales Muestra Aparecen distribuciones muestrales: Poblacin Normal, Chi-cuadrada, tstudent, F 251 Distribucin de la Media: Si X 1 , X 2 ,..., X n es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con distribucin normal n( , 2 ) .Entonces X se 2 distribuye normal con media , y varianza / n X 2

n( , / n) 252 Distribuciones usadas normalmente Distribucin Chi Cuadrada Esta distribucin se forma al sumar los cuadrados de las variables aleatorias normales estndar. Si Z es una variable aleatoria normal, entonces el estadstico Y siguiente es una variable aleatoria Chi cuadrada con n grados de libertad. 2 1 2 2 2 3

y z z z .... z 2 n 253 Distribucin de la varianza. Repaso de la distribucin ji-cuadrada. La funcin de densidad de probabilidad con k grados de libertad y la funcin gama es: k x 1 1 f ( x) x2 e 2 , k k 2 2 2 x 0. k=grados de libertad. (1,2,...)

254 Grficas de la distribucin ji-cuadrada K=1 K=5 K=25 K=50 Con k grande ji-cuadrada se hace normal 255 Media y varianza de una ji-cuadrada. E(X)=k V(X)=2k Calculo de puntos crticos usando las tablas de jicuadrada 2 P ( X ,k ) 256 Ejemplo: Calcule el valor critico que satisface 2

P ( X 0.05, 20 ) .05 De tablas de ji-cuadrada con alfa=.05 y k=20 2 0.05, 20 31.41 257 Resultado: Si X 1 , X 2 ,..., X n es una muestra aleatoria de una Poblacion (X) con distribucin normal n( , 2 ) .Entonces (n 1) S 2 se 2 distribuye ji-cuadrada con k= n-1 grados de libertad. Donde S cuadrada es la varianza muestral. (n 1) 2 2 S n 1 2 258

Distribucin t-student Si X 1 , X 2 ,..., X n es una muestra aleatoria de una n( , 2 ) Poblacin (X) con distribucin normal ( X ) ( s / n) Entonces se distribuye . t-student con n-1 grados de libertad. ( X ) ( s / n) t n 1 259 Funcin de Distribucin tstudent [(k 1) / 2] f ( x) k [k / 2][ x 2 / 2 1]( k 1) / 2 x ( , ) K=1 K=10

K=100 260 Funcin de Distribucin tstudent 261 k ; k 3 k 2 Distribucin t de Student La media y la varianza de la distribucin t son: 0 k ; k 3 k 2

De una muestra aleatoria de n artculos, la probabilidad de que x t s/ n Caiga entre dos valores especificados es igual al rea bajo la distribucin de probabilidad t de Student con los valores correspondientes en el eje X, con n-1 grados de libertad 262 k ; k 3 k 2 Distribucin t de Student Ejemplo: La resistencia de 15 sellos seleccionados aleatoriamente son: 480, 489, 491, 508, 501, 500, 486, 499, 479, 496, 499, 504, 501, 496, 498

Cul es la probabilidad de que la resistencia promedio de los sellos sea mayor a 500?. La media es 495.13 y la desviacin estndar es de 8.467. 495.13 500 t t = -2.227 y el rea es 0.0214 8.467 / 15 2.227 263 Distribucin F Surge de dividir dos ji-cuadradas independientes F=(W/u)/(Y/v) W se distribuye ji-cuadrada con u g.l. Y se distribuye ji-cuadrada con v g.l. El uso de esta distribucin es para comparar varianzas (Recuerde el anlisis de varianza) 264

Distribucin F. Funcin f ( x) de densidad de la Distribucin F u (u / 2) 1 2 [(u v) / 2] u / v x u (u / 2)[v / 2][ x 1]( k v ) / 2 v x (0, ) u=10 u=20 v=5 v=20

265 Distribucin F. Funcin de densidad de la Distribucin F 266 Distribucin F Para determinar la otra cola de la distribucin F se determina con la expresin. Falfa, k1, k2 = 1 / F(1-alfa), k2, k1 Dado K1 = 8 y K2 = 10, F0.05 = 3.07, encontrar el valor de F0.05 con K1 = 10 y K2 = 8 F0.05,10,8 = 1/ F0.95,8,10 = 1/ 3.07 = 0.326 267

IIIE. Anlisis de Sistemas de medicin 268 Anlisis de Sistemas de Medicin 1. Errores en la medicin 269 Metrologa Metrologa es la ciencia de las mediciones Apoya a la organizacin en la evaluacin cuantitativa de las variables del proceso (longitudes, dimensiones, pesos, presiones, etc.) Factores considerados para determinar el periodo de calibracin de los equipos de medicin

Intensidad de uso del equipo Posibles desgastes por el uso o degradacin Errores identificados durante las calibraciones peridicas 270 Correlacin de mediciones Es la comparacin o correlacin de las mediciones de un sistema de medicin con los valores reportados por uno o ms sistemas de medicin diferentes Un sistema o dispositivo de medicin puede usarse para comparar valores contra un estndar conocido, a su vez puede compararse a la media y desviacin estndar de otros dispositivos similares

Todas las mediciones reportadas de artefactos iguales o similares, son referidos como prueba de proficiencia o prueba de Round Robin. 271 Correlacin de mediciones Tambin se pueden comparar valores obtenidos de diferentes mtodos de medicin usados para medir diferentes propiedades. Por ejemplo la medicin de dureza y resistencia de un metal, temperatura y expansin lineal de un artculo al ser calentado, y peso y nmero de pequeas partes El manual MSE de la AIAG clasifica los errores del sistema de medicin en cinco categoras:

Sesgo o exactitud Repetibilidad Reproducibilidad Estabilidad Linealidad 272 Porcentaje de acuerdo El porcentaje de acuerdo ya sea entre el sistema de medicin y los valores de referencia o el valor verdadero de la variable medida, puede estimarse con el coeficiente de correlacin, r, con valores r=1 100% de acuerdo y r= 0 sin acuerdo. 273 Precisin a Tolerancia P/ T Es la razn (P/T) entre el error estimado de la medicin (precisin) y la tolerancia de la caracterstica medida. 6 e

Re l P / T Tolerancia Donde 6 sigma es la variabilidad de las mediciones. Los supuestos son: Las mediciones son independientes Los errores de medicin se distribuyen normalmente Los errores de medicin son independientes de la magnitud de las mediciones 274 Precisin a Variacin Total P/TV Es la razn (P/TV) entre el error estimado de la medicin (precisin) y la variacin total de la caracterstica medida. 6 e Variacion Medicion Re l P / TV Variacion Total Variacion Pr oducto Variacion Medicion

Se debe minimizar P/TV para reducir el efecto de la variacin de las mediciones en la evaluacin de la variacin del proceso Conforme P/T y P/TV se incrementan, la habilidad de discriminar un cambio en el proceso disminuye, en todo caso utilizar un sistema de medicin con variacin ms pequea 275 Definiciones Exactitud Desviacin respecto del valor verdadero del promedio de las mediciones Valor verdadero: Valor correcto terico / estndares NIST Sesgo Distancia entre el valor promedio de todas las mediciones y el valor verdadero. Error sistemtico o desviacin 276 Definiciones

Estabilidad La variacin total en las mediciones obtenidas durante un perodo de tiempo prolongado Linealidad Diferencia en los valores de la escala, a travs del rango de operacin esperado del instrumento de medicin. Precisin Medicin de la variacin natural en mediciones repetidas 277 Posibles Fuentes de la Variacin del Proceso Variacin del proceso, observado Variacin del proceso, real Variacin dentro de la muestra Repetibilidad Variacin de la medicin Variacin originada por el calibrador Estabilidad

Reproducibilidad Linealidad Sesgo Calibracin La Repetibilidad y reproducibilidad (R&R), son los errores ms relevantes en la medicin. 278 Anlisis de Sistemas de Medicin Sensibilidad El gage debe ser suficientemente sensible para detectar diferencias en las mediciones en al menos un dcimo de la tolerancia especificada o de la dispersin del proceso 279 Definicin del Sesgo o precisin

Valor Verdadero Sesgo es la diferencia entre el promedio observado de las mediciones y el valor verdadero. Se reporta como porcentaje de la variacin del proceso o de la tolerancia. Sesgo 280 Definicin de la Repetibilidad o precisin Repetibilidad: Es la variacin de las mediciones obtenidas con un instrumento de medicin, cuando es utilizado varias veces por un operador, al mismo tiempo que mide las mismas caractersticas en una misma parte

REPETIBILIDAD 281 Definicin de la Reproducibilidad Reproducibilidad: Es la variacin, entre promedios de las mediciones hechas por diferentes operadores que utilizan un mismo instrumento de medicin cuando miden las mismas caractersticas en una misma parte en diferentes tiempos Operador-B Operador-C Operador-A Reproducibilidad

282 Errores en la medicin Preciso pero No exacto Exacto pero no preciso Exacto y preciso 283 Definicin de la Estabilidad Estabilidad (o desviacin) es la variacin total de las mediciones obtenidas con un sistema de medicin, hechas sobre el mismo patrn o sobre las mismas partes, cuando se mide una sola de sus caractersticas, durante un perodo de tiempo prolongado.

Tiempo 2 Tiempo 1 284 Definicin de la Linealidad Graficar el sesgo versus los valores de referencia de la parte En todo el rango de operacin del instrumento. El porcentaje de Linealidad es igual a la pendiente, b, de la lnea de regresin Multiplicada por la variacin del proceso. L = b Vp El sesgo en cualquier punto se puede estimar de la pendiente y La interseccin con eleje Y (Yo) de la mejor lnea de ajuste B = Yo + b X Valor verdadero Valor verdadero Linealidad es la diferencia Sesgo Sesgo en los valores real y Menor mayor

observado, a travs del rango de (rango inferior) operacin Rango de Operacin del equipo esperado del equipo. (rango superior) 285 Estabilidad del Calibrador Cmo Calcularla Para calibradores que normalmente se utilizan sin ajuste, durante periodos de tiempo relativamente largos. Realizar un segundo estudio R&R del Calibrador justo antes de que venza el tiempo de re calibracin. La estabilidad del calibrador es la diferencia entre los promedios sobresalientes de las mediciones resultantes de los dos estudios. Causas posibles de poca estabilidad El calibrador no se ajusta tan frecuentemente como se requiere Si es un calibrador de aire, puede necesitar un filtro o un regulador Si es un calibrador electrnico, puede necesitar calentamiento previo. 286 Error R&R =

RPT2 Precisin en relacin a la variacin total %R&R= R&R *100 Var Total + REPR2 Para la fase de control del proyecto, slo substituya la Tolerancia por Variacin Total . TV= R&R + PV PV= variacin de parte = Rp x K3 Identificar qu porcentaje de la variacin total debe absorberse como error de medicin. <10% Aceptable

10-30%. Puede ser aceptable, dependiendo qu tan crtico es el grado de la medicin. >30%. Inaceptable! 287 EL VALOR DEL R&R ES UN PORCENTAJE DE LA VARIACION TOTAL DEL PROCESO: VARIACIN DE PARTE A PARTE La dimensin verdadera de las partes se encuentra en algn lugar de la la regin sombreada Lo que fue medido LSL OBJETIVO USL Mientras ms mayor sea el % del R&R, mayor ser el rea de incertidumbre para conocer la dimensin verdadera de las partes.

ERROR TIPO 1: Pueden estarse aceptando partes que estn fuera de especificaciones ERROR TIPO 2: Pueden estarse rechazando partes que estn dentro de especificaciones Anlisis de Sistemas de Medicin 2. Carta de tendencias 289 Carta de tendencias de gages Una carta de tendencias es una grfica de todas las observaciones por operador y partes. La lnea horizontal de referencia es la media, calculada de los datos o proporcionada en base al historial. Esta carta muestra las diferencias entre los diferentes operadores y las partes.

Un proceso estable mostrar una dispersin aleatoria horizontal; el efecto de un operador o parte mostrar un patrn definido no aleatorio. 290 Carta de tendencias de gages Gage Run Chart of Response by Part, Operator 1 2 3 4 5 Gage name: Date of study: 1 2 Reported by:> GAGEAIAG.MTW. File > Open worksheet Tolerance: Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage Run Chart.

Misc: En Part numbers, seleccionar Part. En Operators, seleccionar Operator. En Measurement data, seleccionar Response. Click OK. 3 4 5 1.0 Mean 0.8 O perator 1 2 3 Response 0.6 0.4 6 7

8 9 10 1.0 Mean 0.8 0.6 0.4 Operator Panel variable: Part 291 Carta de tendencias de gages Interpretando los resultados

Para cada parte, se puede comparar la variacin entre mediciones hechas los operadores y sus diferencias Se puede comparar la media de referencia con las mediciones especficas. La mayor parte de la variacin se debe a diferencias entre las partes, algunos patrones menores aparecen tambin. Por ejemplo el operador 2 en su segunda medicin es consistentemente (7/10) ms pequea que la primera, y sus mediciones son consistentemente (8/10) ms pequeas que las del operador 1. 292 Anlisis de Sistemas de Medicin 3. Estudios R&R Mtodo corto del rango 293 Mtodo del rango

Es un mtodo que proporciona un valor aproximado del error R&R sin que muestre las diferencias entre errores por el equipo y por los operadores. Se usan dos evaluadores y cinco partes. Cada evaluador mide cada parte una sola vez. Se calcula el rango de la medicin de cada parte y al final el rango promedio. La desviacin estndar de R&R se aproxima con la formula de rango medio entre d2* El % de R&R se calcula comparando la desv. Estndar de R&R con la del proceso 294 Mtodo del rango Partes 1

2 3 4 5 Evaluador A Evaluador B Rango A,B 0.85 0.80 0.05 0.75 0.70 0.05 1.00 0.95 0.05 0.45 0.55 0.10 0.50 0.60 0.10 Rango medio = 0.35/5 = 0.07 GRR = Rmedio / d2* = 0.07 / 1.19 = 0.0588 Error Desv. Estndar del proceso = 0.0722 %GRR = 100 (GRR / Desv. Est. Proceso ) = 81.4%

mximo 10% Por tanto el sistema de medicin requiere mejora 295 Anlisis de Sistemas de Medicin 4. Determinacin de la repetibilidad 296 Determinacin de la repetibilidad Se tienen veinte unidades de producto, el operador que toma las mediciones para el diagrama de control usa un instrumento para medir cada unidad dos veces. Los datos son mostrados en la tabla siguiente 297 Determinacin slo

de la repetibilidad Parte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Medicin 1 21 24 20

27 19 23 22 19 24 25 21 18 23 24 29 26 20 19 25 19 Medicin 2 20 23 21 27 18 21 21 17

23 23 20 19 25 24 30 26 20 21 26 19 Promedio Media 20,5 23,5 20,5 27,0 18,5 22,0 21,5 18,0 23,5 24,0 20,5 18,5

24,0 24,0 29,5 26,0 20,0 20,0 25,5 19,0 22,3 Rango 1 1 1 0 1 2 1 2 1 2 1 1 2 0 1 0

0 2 1 0 1 298 Determinacin slo de la repetibilidad = La desviacin estndar del error de medicin,, es calculada mediante la siguiente frmula: R 1 0.887 d 2 1.128 R= Rango promedio d2 = Valor de tablas. Para obtener una buena estimacin de la capacidad del

error de medicin utilizamos: y vs Tolerancia 6 medicin 6(0.887) 5.32 6 medicin P T USL LSL 299 Determinacin slo de la repetibilidad = En este ejemplo USL = 60, LSL = 5 P 5.32 0.097 T 55 Los valores P/T de 0.1 o menores generalmente

implican una capacidad de error de medicin adecuada. La varianza total observada es: 2 Total S 2 (3.07) 2 9.4249 Y la sigma del proceso es: 2 proceso = 2 total 2 medicin =9.4249 - .79 = 8.63 Por lo tanto la desviacin estndar del proceso = 2.93 300 Determinacin slo de la repetibilidad = El error de medicin es expresado como un porcentaje de la variabilidad del proceso: medicion .79

100 25.73% total 3.07 Al ser el error de medicin mayor al 10%, concluimos que no tenemos un sistema de medicin confiable, por lo cual tenemos que realizar las acciones correctivas correspondientes. 301 Anlisis de Sistemas de Medicin 5. Estudios R&R (cruzado) Mtodo de Medias Rangos Mtodo largo 302 R&R - Mtodo de medias rangos Los estudios de repetibilidad y reproducibilidad determinan cuanto de la variacin observada como variacin de proceso es debida a variacin del sistema de medicin.

Se proporcionan dos mtodos para evaluar la repetibilidad y la reproducibilidad: Mtodo de cartas X-R y Mtodo de ANOVA. El Mtodo X-R divide la variacin total dentro de tres categoras: parte a parte, repetibilidad y reproducibilidad. El mtodo ANOVA presenta un componente adicional, la interaccin operador parte. 303 Mtodo de medias rangos 304 Estudio de R&R Medias Rangos Generalmente intervienen de dos a tres operadores

Generalmente se toman 10 unidades Cada unidad es medida por cada operador, 2 3 veces. 305 Estudio R&R Medias rangos La resolucin del equipo de medicin debe ser de al menos el 10% del rango de tolerancia o del rango de variacin del proceso. Las partes deben seleccionarse al azar, cubriendo el RANGO TOTAL DEL PROCESO . Es importante que dichas partes sean representativas del proceso total (80% DE LA VARIACION) 10 partes NO son un tamao de muestra significativo para una opinin slida sobre el 306 Procedimiento para realizar un estudio de R&R 1. Ajuste el calibrador, o asegrese de que ste haya sido calibrado. 2. Marque cada pieza con un nmero de identificacin que no pueda ver la persona que realiza la medicin. 3. Haga que el primer operador mida todas las

muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar. 307 Procedimiento para realizar un estudio de R&R 4. Haga que el segundo operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar. 5. Contine hasta que todos los operadores hayan medido las muestras una sola vez (Este es el ensayo 1). 6. Repita los pasos 3-4 hasta completar el nmero requerido de ensayos 308 Procedimiento para realizar un estudio de R&R 7. Utilice el formato proporcionado para determinar las estadsticas del estudio R&R Repetibilidad Reproducibilidad %R&R Desviaciones estndar de cada uno de los conceptos mencionados Anlisis del % de tolerancia 8. Analice los resultados y determine los pasos

a seguir, si los hay. 309 Ejemplo: Planteamiento del problema: Las partes producidas en el rea de produccin, fallaron por errores dimensionales 3% del tiempo. CTQ: Mantener una tolerancia 0.125 pulgadas Sistema de Medicin: Se miden las partes con calibradores de 2. Estudio R&R del La dimensin A es medida por dos Calibrador: operadores, dos veces en 10 piezas. 310 Mtodo X-media y Rango: Repetibilidad y Reproducibilidad de calibrador Operador A Serie # 1er. Ensayo 2o. Ensayo 1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 Totales 9.376 9.372 9.378 9.405 9.345 9.390 9.350 9.405 9.371 9.380 9.358 9.320 9.375 9.388 9.342 9.360

9.340 9.380 9.375 9.368 X-barA Operador B Rango 1er. Ensayo 2o. Ensayo 9.354 9.372 9.278 9.362 9.338 9.386 9.349 9.394 9.384 9.371 Rango Porcin Xbar 9.361 9.372

9.277 9.370 9.339 9.370 9.349 9.381 9.385 9.376 X-barB R-barA R-barB Porcin R 311 Clculo de las X-medias Repetibilidad y Reproducibilidad de calibrador Operador A Serie # 1er. Ensayo 2o. Ensayo 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 Totales 9.376 9.372 9.378 9.405 9.345 9.390 9.350 9.405 9.371 9.380 93.772 X-barA 9.358 9.320 9.375 9.388 9.342 9.360

9.340 9.380 9.375 9.368 93.606 9.3689 R-barA Operador B Rango 1er. Ensayo 2o. Ensayo 9.354 9.372 9.278 9.362 9.338 9.386 9.349 9.394 9.384 9.371 93.588 X-barB Rango 9.361

9.372 9.277 9.370 9.339 9.370 9.349 9.381 9.385 9.376 93.580 9.3584 R-barB Porcin Xbar 9.362 9.359 9.327 9.381 9.341 9.377 9.347 9.390 9.379 9.374 Porcin R

312 Clculo de los Rangos Repetibilidad y Reproducibilidad de calibrador Operador A Operador B Serie # 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango 1er. Ensayo 2o. Ensayo Rango Porcin Xbar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Totales 0.007 0.000 0.001 0.008 0.001 0.016 0.000 0.013 0.001 0.005 0.052 9.362 9.359 9.327 9.381 9.341 9.377 9.347 9.390 9.379 9.374 9.376 9.372

9.378 9.405 9.345 9.390 9.350 9.405 9.371 9.380 93.772 X-barA 9.358 9.320 9.375 9.388 9.342 9.360 9.340 9.380 9.375 9.368 93.606 9.3689 R-barA 0.018 0.052

0.003 0.017 0.003 0.030 0.010 0.025 0.004 0.012 0.174 0.0174 9.354 9.372 9.278 9.362 9.338 9.386 9.349 9.394 9.384 9.371 93.588 X-barB 9.361 9.372 9.277

9.370 9.339 9.370 9.349 9.381 9.385 9.376 93.580 9.3584 R-barB 0.0052 Porcin R 0.0630 313 Identificacin de Parmetros del Estudio y Clculos Totales 93.772 X-barA 93.606 9.3689

R-barA 0.174 0.0174 93.588 X-barB 93.580 9.3584 R-barB 0.052 0.0052 Porcin R 0.0630 Ancho de tolerancia====> 0.25 Nmero de intentos (m)=> 2 Nmero de partes (n)==> Nmero de operadores ========> 4.56 10 2

X-media mx.=> 9.3689 X-media mn. => 9.3584 Diferencia X-dif 0.0105 R-media doble 0.0113 (=4.56 para 2 ensayos, 3.05 para 3 ensayos) =========> 3.65 K3 ======> 1.62 (=3.65 para 2 operadores; 2.7 para 3 operadores)

314 Clculo de R&R Repetibilidad: La variacin del dispositivo de medicin (VD) se calcula sobre cada grupo de mediciones tomadas por un operador, en una sola parte. DV = R x K1 = 0.0515 Reproducibilidad: La variacin en el promedio de las mediciones (AV) se calcula sobre el rango de los promedios de todas las mediciones, para cada operador, menos el error del calibrador (vale si la raz es negativa) AV = (Xdif * K2)2 - (DV2/(r*n)) = 0.03655 315 Clculo de R&R El componente de varianza para repetibilidad y reproducibilidad (R&R) se calcula combinando la varianza de cada componente.

R&R = = DV2 + AV2 0.05277 El componente de varianza para las partes (PV), se calcula sobre el rango de los promedios de todas las mediciones, para cada parte. PV = Rpart x K3 = 0.1021 La variacin total (TV) se calcula combinando la varianza de repetibilidad y reproducibilidad y la variacin de la parte. TV = R&R2 + PV2

= 0.1142 316 Clculo de R&R Basado en la tolerancia: %DV = 100*DV/Ancho de tolerancia=20.61 %AV = 100*AV/Ancho de tolerancia=14.62 %R&R = 100*R&R/Ancho de tolerancia 21.108 = Basado en la variacin Total de las Partes: %DV = 100*DV/Variacin total= %AV = 100*AV/ Variacin total =

%R&R = 100*R&R/ Variacin total = 45.09 32.00 46.20 89.40 317 Ejercicios Para un estudio de R&R 2 operadores midieron con el mismo equipo de medicin 10 partes en 3 intentos cada uno,obteniendo: Mediciones de operador A 1 2 Nmero de parte 1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 50 52 53 49 48 52 51 52 50 47 49 52 50 51 49 50 51 50 51 46 50

51 50 50 48 50 51 49 50 49 3 1 50 51 54 48 48 52 51 53 51 46 48 51

52 50 49 50 50 48 48 47 Mediciones de operador B 2 3 51 51 51 51 48 50 50 50 49 48 318 R&R por Medias Rangos

Calculo con Minitab (se puede usar la hoja de trabajo Gageaiag.mtw) 319 R&R Medias Rangos Minitab :Datos originales OPERADOR A.- B.- C.- columna 1 Muestra columna 2 columna 3 columna 5 columna 6 2do 2do 1er Intento Intento 3er Intento 1er Intento Intento columna 10 2do 3er Intento 1er Intento Intento

columna 7 columna 9 columna 11 3er Intento 1 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0050 0.0045 0.0045

2 0.0045 0.0055 0.0045 0.0055 0.0050 0.0045 0.0055 0.0045 0.0045 3 0.0045 0.0045

0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0040 4 0.0050 0.0050 0.0045 0.0050 0.0050 0.0050

0.0050 0.0050 0.0050 5 0.0045 0.0045 0.0045 0.0040 0.0045 0.0040 0.0045 0.0045 0.0040

6 0.0050 0.0055 0.0045 0.0060 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 7 0.0050 0.0045 0.0045

0.0055 0.0045 0.0050 0.0045 0.0050 0.0050 8 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050

0.0060 0.0050 0.0050 9 0.0050 0.0045 0.0050 0.0045 0.0045 0.0050 0.0055 0.0045 0.0045 10

0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0045 0.0045 0.0045 Totales 0.0470 0.0475 0.0455

0.0485 0.0465 0.0465 0.0500 0.0470 0.0460 320 R&R Medias Rangos Minitab :Datos cargados (3 cols.) Partes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Operadores 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Medicin 0.0045 0.0045 0.0045 0.005 0.0045 0.005 0.005 0.005 0.005 0.004 0.0045 0.0055 0.0045 0.005 0.0045 0.0055 0.0045 0.005 0.0045 0.004 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045

0.0045 0.005 0.005 0.004 Partes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 Operadores 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Medicin 0.0045 0.0055 0.0045 0.005 0.004 0.006 0.0055 0.005 0.0045 0.004

0.0045 0.005 0.0045 0.005 0.0045 0.005 0.0045 0.005 0.0045 0.004 0.0045 0.0045 0.0045 0.005 0.004 0.005 0.005 0.005 0.005 0.004 Partes 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Operadores

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 Medicin 0.005 0.0055 0.0045 0.005 0.0045 0.005 0.0045 0.006 0.0055 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.005 0.0045 0.005 0.005 0.005 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045

0.004 0.005 0.004 0.005 0.005 0.005 0.0045 0.0045 321 R&R Medias Rangos Minitab : Instrucciones Seleccione en el men de la barra de herramientas Stat>quality tools>gage study > Gage R&R (Crossed) Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medicin) Mtodo de Anlisis X Bar and R

En Options Seleccionar: Study variation 5.15 Process tolerante 0.006 322 R&R Medias Rangos Minitab : Resultados Gage R&R Study - XBar/R Method Source Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Part-To-Part Total Variation VarComp 0.0000001 0.0000001 0.0000000 0.0000001 0.0000001 %Contribution (of VarComp)

41.00 40.52 0.48 59.00 100.00 Source StdDev (SD) Total Gage R&R 0.0002476 Repeatability 0.0002461 Reproducibility 0.0000269 Part-To-Part 0.0002970 Total Variation 0.0003867 % Error R&R debe ser menor Al 10% ya sea para control de Proceso o para producto final Repetibilidad Instrumento Reproducibilidad - Operador Study Var %Study Var %Tolerance (5.15 * SD)

(%SV) (SV/Toler) 0.0012750 64.03 21.25 0.0012675 63.65 21.12 0.0001384 6.95 2.31 0.0015295 76.81 25.49 0.0019913 100.00 33.19 Number of Distinct Categories = 1 Nmero mnimo 4 323 R&R Medias Rangos Minitab : Interpretacin de Resultados Interpretacin de los resultados:

El error de R&R vs tolerancia es 64.03% y vs variacin total del proceso es 21.25% lo que hace que el equipo de medicin no sea adecuado para la medicin. Por otro lado el nmero de categoras es slo de 1 cuando debe ser al menos 4 indicando que el instrumento discrimina las diversas partes diferentes. 324 R&R Medias Rangos Grficas La grfica R se mantiene en control indicando que las mediciones se realizaron en forma adecuada Gage R&R (Xbar/ R) for Datos La grfica X barra slo presenta 5 de 30 puntos fuera Reported by :ser al menos el 50%, indicando de control, debera Gage name:

Tolerance: Date of study: que el equipoMisc: no discrimina las diferentes partes. Components of Variation Percent 80 Datos by Partes % Contribution 0.006 % Study Var % Tolerance 40 0 0.005 0.004 Gage R&R

Repeat Reprod 1 Part-to-Part 2 3 R Chart by Operadores Sample Range 1 2 3 0.006 0.0005 _

R=0.000417 0.005 0.0000 LCL=0 1 9 10 2 Operadores 3 Operadores UCL=0.005143 _ X=0.004717 0.0045 LCL=0.004290

0.0040 8 Operadores * Partes I nteraction 3 Average Sample Mean 0.0050 2 7 0.004 Xbar Chart by Operadores 1 5 6 Partes

Datos by Operadores UCL=0.001073 0.0010 4 1 0.0050 2 3 0.0045 0.0040 1 2 3 4 5 6 Partes

7 8 9 10 325 R&R por ANOVA 6. Calculo con Minitab (con los datos del ejemplo anterior) 326 R&R por ANOVA Instrucciones de Minitab Seleccione en el men de la barra de herramientas Stat>quality tools>gage study > Gage R&R (Crossed) Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3

(Medicin) Mtodo de Anlisis ANOVA En Options Seleccionar: Study variation 5.15 Process tolerance 0.006 Alfa to remove interaction 0.25 327 R&R por ANOVA Resultados de Minitab Gage R&R Study - ANOVA Method Two-Way ANOVA Table With Interaction Source Partes Operadores Partes * Operadores Repeatability Total DF 9 2

18 60 89 SS 0.0000086 0.0000002 0.0000014 0.0000063 0.0000165 MS 0.0000010 0.0000001 0.0000001 0.0000001 F 12.2885 0.9605 0.7398 P 0.000 0.401 0.757

Los operadores y la interaccin no fueron significativos, slo las partes Gage R&R La interaccin no es significativa, %Contribution y los errores de R&R indican que (of VarComp) 50.93 equipo de medicin no es adecuad 50.93 0.00 ni el nmero de categoras. Source Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Operadores Part-To-Part Total Variation VarComp 0.0000001 0.0000001 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000002

Source Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Operadores Part-To-Part Total Variation StdDev (SD) 0.0003150 0.0003150 0.0000000 0.0000000 0.0003092 0.0004414 0.00 49.07 100.00 Study Var (5.15 * SD) 0.0016222 0.0016222 0.0000000 0.0000000 0.0015923

0.0022731 Number of Distinct Categories = 1 %Study Var (%SV) 71.36 71.36 0.00 0.00 70.05 100.00 %Tolerance (SV/Toler) 27.04 27.04 0.00 0.00 26.54 37.88 328 R&R por ANOVA Resultados de Minitab Gage R&R (ANOVA) for Datos

Las conclusiones son similares que con el mtodo de X barra R. No hay interaccin parte - operador Reported by: Tolerance: Misc: Gage name: Date of study: Components of Variation Percent 80 Datos by Partes % Contribution 0.006 % Study Var % Tolerance 40

0 0.005 0.004 Gage R&R Repeat Reprod 1 Part-to-Part 2 3 R Chart by Operadores Sample Range 1 2 3

UCL=0.001073 0.0005 _ R=0.000417 0.005 0.0000 LCL=0 1 9 10 2 Operadores 3 Operadores

UCL=0.005143 _ X=0.004717 0.0045 LCL=0.004290 0.0040 8 Operadores * Partes I nteraction 3 Average Sample Mean 0.0050 2 7 0.004 Xbar Chart by Operadores

1 5 6 Partes Datos by Operadores 0.006 0.0010 4 1 0.0050 2 3 0.0045 0.0040 1 2 3

4 5 6 Partes 7 8 9 10 329 Anlisis de Sistemas de Medicin 7. Estudios R&R por atributosMtodo de acuerdo por atributos 330 Ejemplo comparacin pasa no pasa Un sistema de medicin de atributos compara cada parte con un estndar y acepta la parte

si el estndar se cumple. La efectividad de la discriminacin es la habilidad del sistema de medicin de atributos para discriminar a los buenos de los malos. 331 Ejemplo comparacin pasa no pasa 1. Selecciona un mnimo de 20 unidades del proceso. Estas unidades deben representar el espectro completo de la variacin del proceso (buenas, erroneas y en lmites). 2. Un inspector experto realiza una evaluacin de cada parte, clasificndola como Buena o No Buena. 3. Cada persona evaluar las unidades, independientemente y en orden aleatorio, y las definir como Buenas o No Buenas. 4. Ingresa los datos en el archivo Attribute Gage R&R.xls para cuantificar la efectividad del sistema de medicin. 332 GR&R de Atributos - Ejemplo

Legenda de Atributos G =1 Bueno NG =2No Bueno REPORTE FECHA: NOMBRE: PRODUCTO: SBU: COND. DE PRUEBA: Poblacin Conocida Muestra # Atributo 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G

7 G 8 G 9 NG 10 NG 11 G 12 G 13 NG 14 G 15 G 16 G 17 NG 18 G 19 G 20

G % DEL EVALUADOR Persona #1 #1 G G G G G NG G G G NG G G NG G G G NG G G G

(1) % VS. EL ATRIBUTO #2 G G G G G G G G G NG G G NG G G G NG G G G ->

(2) -> #1 G G G G G G G G NG G G G NG G G G NG G G G Persona #2

#2 G G G G G G G G NG G G G NG G G G NG G G G 95.00% 100.00% 90.00%

95.00% Acuerdo Acuerdo Y=S N=No Y Y Y Y Y N Y Y N N Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Y Y=S N=No Y Y Y Y Y N Y Y N N Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Esta es la medida general de

consistencia entre los operadores y el experto. 90% es lo mnimo! (3) % DE EFECTIVIDAD DE DISCRIMINACION -> 85.00% (4) % DE EFECTIVIDAD DE DISCRIMINACION VS. EL ATRIBUTO -> 85.00% 333 Pasa no pasa Datos en Minitab Muestra 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Atributo G G G G G G G G NG

NG G G NG G G G NG G G G Persona 1A G G G G G NG G G G NG G G NG G

G G NG G G G Persona 1B G G G G G G G G G NG G G NG G G G NG G G

G Persona 2A G G G G G G G G NG G G G NG G G G NG G G G Persona 2B G G

G G G G G G NG G G G NG G G G NG G G G 334 Instrucciones en Minitab 1 2 Usar los datos anteriores. Seleccionar Stat > Quality Tools > Attribute

Agreement Analysis. 3 En Multiple columns, con Persona 1 - Persona 2B. 4 En Number of appraisers, 2. 5 En Number of trials, 2. 6 7 En Known standard/attribute, poner Atributo no Checar Categories of the attribute data are ordered y poner OK 335 Resultados de Minitab Attribute Agreement Analysis Persona 1A, Persona 1B, Persona 2A, Persona 2B Within Appraisers Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI 1 20 19 95.00 (75.13, 99.87)

2 20 20 100.00 (86.09, 100.00) # Matched: Appraiser agrees with him/herself across trials. Fleiss' Kappa Statistics Appraiser Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) 1 G 0.82684 0.223607 3.69774 0.0001 NG 0.82684 0.223607 3.69774 0.0001 2 G 1.00000 0.223607 4.47214 0.0000 NG 1.00000 0.223607 4.47214 0.0000 Each Appraiser vs Standard Appraiser 1

2 # Inspected 20 20 # Matched 18 19 Percent 90.00 95.00 95 % CI (68.30, 98.77) (75.13, 99.87) Between Appraisers # Inspected # Matched Percent 95 % CI 20 17 85.00 (62.11, 96.79) Fleiss' Kappa Statistics Response

Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) G 0.663222 0.0912871 7.26524 0.0000 NG 0.663222 0.0912871 7.26524 0.0000 All Appraisers vs Standard # Inspected # Matched Percent 95 % CI 20 17 85.00 (62.11, 96.79) # Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard. Fleiss' Kappa Statistics Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0) G 0.792005 0.111803 7.08391 0.0000 NG 0.792005 0.111803 7.08391 0.0000

336 Resultados de Minitab Date of study: Reported by: Name of product: Misc: Assessment Agreement Within Appraisers 95.0% CI Percent 100 95 95 90 90 85 80

85 80 75 75 70 70 1 2 Appraiser 95.0% CI Percent 100 Percent Percent Appraiser vs Standard 1

2 Appraiser 337 Interpretacin de Resultados 1. % del Evaluador es la consistencia de una persona. 2. % Evaluador vs Atributo es la medida de el acuerdo que hay entre la evaluacin del operador y la del experto. 3. % de Efectividad de Seleccin es la medida de el acuerdo que existe entre los operadores. 4. % de Efectividad de Seleccin vs. el Atributo es una medida general de la consistencia entre los operadores y el acuerdo con el experto. 338 Guas de Aceptabilidad Aunque el 100% es el resultado que deseamos obtener, en un estudio de repetibilidad y reproducibilidad de atributos, la siguiente gua se usa frecuentemente: Porcentaje De 90% a 100%

Gua Aceptable De 80% a 90% Marginal Menos de 80% Inaceptable 339 IIIF. Capacidad y desempeo del Proceso 340 Capacidad y desempeo del proceso 1. Estudios de capacidad del proceso 2. Desempeo del proceso contra especificaciones 3. ndices de capacidad del proceso 4. ndices de desempeo del proceso 5. Capacidad a corto y a largo plazo 6. Capacidad del proceso para datos por atributos

341 IIIF.1 Estudios de Capacidad del Proceso 342 Teora del camin y el tnel El tnel tiene 9' de ancho (especificacin). El camin tiene 10 y el chofer es perfecto (variacin del proceso). Pasara el camin? NO, la variabilidad del proceso es mayor que la especificacin. Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de la especificacin. Si el camin tiene 8 pies de ancho pasar el camin?, Si. Si el chofer puede mantener el centro del camin en el centro del tnel. De otra forma chocar con las paredes del tnel y no pasar a pesar de ser ms angosto. El proceso debe estar en control, tener capacidad y estar centrado Ancho 9 Nigels Trucking Co. Objetivos de la capacidad del proceso 1. Predecir que tanto el proceso cumple especificaciones 2. Apoyar a diseadores de producto o proceso en sus modificaciones 3. Especificar requerimientos de desempeo para el

equipo nuevo 4. Seleccionar proveedores 5. Reducir la variabilidad en el proceso de manufactura 344 Estudios de capacidad La capacidad del proceso es un patrn predecible de comportamiento estadstico estable donde las causas de variacin se comparan con las especificaciones. 345 Estudios de capacidad LSE Especificacin superior LIE Especificacin inferior Z

s xi _ X p = porcentaje de partes fuera de Especificaciones 346 Cmo vamos a mejorar esto? Podemos reducir la desviacin estndar... Podemos cambiar la media... O (lo ideal sera, por supuesto) que podramos cambiar ambas Cualquiera que sea la mejora que lleve a cabo, asegrarse que se mantenga 347 Procedimiento 1. Seleccionar una mquina donde realizar el estudio 2. Seleccionar las condiciones de operacin del proceso 3. Seleccionar un operador entrenado 4. El sistema de medicin debe tener habilidad (error

R&R < 10%) 5. Cuidadosamente colectar la informacin 6. Construir un histograma de frecuencia con los datos 7. Calcular la media y desviacin estndar del proceso 348 Estudios de capacidad Objetivos: Establecer un estado de control sobre el proceso de manufactura mantenerlo en el tiempo. Al comparar el proceso vs los lmites de especificacin pueden ocurrir los siguientes eventos: No hacer nada Cambiar las especificaciones Centrar el proceso+ Reducir la variabilidad Aceptar las prdidas

349 Estudios de capacidad Identificacin de caractersticas: Deben ser indicativas de un factor clave en la calidad del producto o proceso Debera ser posible ajustar el valor de la caracterstica como factor de control Las condiciones de operacin que afecten la caracterstica medida deben ser identificadas y controladas El PPAP indica la evaluacin una inicial de la capacidad 350 IIIF.2 Desempeo del proceso contra especificaciones

351 estndar con el proceso normal o en control La desviacin estndar del proceso cuando se encuentra en control se determina como sigue con base en una carta de control X-R siempre que est bajo control estadstico: Desv. Est. st = (Within) Rango medio Constante d2 de acuerdo al tamao de subgrupo en X-R D2 = 1.128 para carta I-MR con n=2 D2= 2.326 para carta X-R con n=5 352 Lmites de tolerancia natural del proceso LTNS = Media + 3*sigma LTNI = Media 3*sigma Si los lmites de especificacin son: LIE y LSE El Cp = (LSE LIE) / (LTNS LTNI) debe ser

mayor a 1 353 Capacidad del proceso Zs y P(Zs) Fraccin defectiva Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las frmulas siguientes: Zi = LIE - promedio del proceso Desviacin Estndar - st Zs = LSE - Promedio del proceso Desviacin Estndar - st La fraccin defectiva se calcula con la distribucin normal estndar: P(Zi) = rea en tabla (-Z) P(Zs) = 1 rea corresp. a Zs en tabla (+Z) Fraccin defectiva = P(Zi) + P(Zs)

354 IIIF.3 ndices de capacidad del proceso 355 estndar con el proceso normal o en control La desviacin estndar del proceso cuando se encuentra en control se determina como sigue con base en una carta de control X-R siempre que est bajo control estadstico: Desv. Est. st = (Within) Rango medio Constante d2 de acuerdo al tamao de subgrupo en X-R D2 = 1.128 para carta I-MR con n=2 D2= 2.326 para carta X-R con n=5 356 Capacidad del proceso Zs y P(Zs) Fraccin defectiva

Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las frmulas siguientes: Zi = LIE - promedio del proceso Desviacin Estndar - st Zs = LSE - Promedio del proceso Desviacin Estndar - st La fraccin defectiva se calcula con la distribucin normal estndar: P(Zi) = rea en tabla (-Z) P(Zs) = 1 rea corresp. a Zs en tabla (+Z) Fraccin defectiva = P(Zi) + P(Zs) 357 ndices de Capacidad Potencial del proceso en control Corto plazo

El ndice de capacidad potencial del Proceso (Cp) mide la variacin del proceso en relacin con el rango de Especificacin. Cp = LSE - LIE Tolerancia = Variacin del proceso 6 Desviaciones Estndar - st La relacin de capacidad (CR) es la inversa del clculo de Cp. Este ndice le indica que porcentaje de la especificacin est siendo usado por la variacin del proceso. Rango del proceso 6 desviaciones estndar - st = CR = LSE - LIE Tolerancia Otro ndice que toma en cuenta LSE LIE Cpm el centrado del proceso vs 6 2 (X M )2 Media de Especificaciones M es: 358

proceso en control estadstico corto plazo Cpk es una medida de la capacidad real del proceso en funcin de la posicin de la media del proceso (X) en relacin con con los lmites de especificacin. Con lmites bilaterales da una indicacin del centrado. Es el menor de: Cpk = LSE - promedio del proceso Promedio del proceso - LIE y 3 desviaciones Est. - st 3 desviaciones Estndar - st 359 Clculo de la capacidad del proceso Habilidad o capacidad potencial Cp = (LSE - LIE ) / 6 st Debe ser 1 para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE) Habilidad o capacidad real

El Cpk debe ser 1 para que el proceso cumpla especificaciones Cpk = Menor | ZI y ZS | / 3 360 IIIF.4 ndices de desempeo del proceso 361 Estimacin de la desviacin estndar con el proceso a largo plazo Se toman todos los datos del proceso histricos, no importa que el proceso no est en control o no sea normal. n ( Xi X )2 i 1 Desv. Est. lt = (Overall)

lt n 1 4(n 1) 4n 3 S Desvest (datos ) C4 C4 362 ndices de desempeo Potencial del proceso Largo plazo El ndice de desempeo potencial del Proceso (Pp) mide la variacin del proceso en relacin con el rango de Especificacin. Pp = LSE - LIE Tolerancia = Variacin del proceso 6 Desviaciones Estndar - lt

La relacin de capacidad (CR) es la inversa del clculo de Cp. Este ndice le indica que porcentaje de la especificacin est siendo usado por la variacin del proceso. CR = Rango del proceso Tolerancia = 6 desviaciones Est. - lt LSE - LIE 363 ndice de desempeo real del proceso largo plazo Ppk es una medida del desempeo real del proceso en funcin de la posicin de la media del proceso (X) en relacin con con los lmites de especificacin. Con lmites bilaterales da una indicacin del centrado. Es el menor de: Ppk = LSE - promedio del proceso Promedio del proceso - LIE y 3 desviaciones est. - lt

3 desviaciones Estndar - lt 364 Clculo del desempeo del proceso a lago plazo ndice de desempeo potencial Pp = (LSE - LIE ) / 6 lt Debe ser 1 de preferencia >1.33 para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE) ndice de desempeo real El Ppk debe ser 1 para que el proceso cumpla especificaciones de preferencia > 1.33 Ppk = Menor | ZI y ZS | / 3 365 Capacidad de proceso a partir de Histogramas y Distribucin normal 366

Ejemplo Se tomaron los datos siguientes: 265 197 346 280 265 200 221 265 261 278 215 251 205 286 317 242 254 235 176 262 248 250 318

263 274 242 260 281 246 248 271 260 265 271 307 243 258 321 294 328 263 245 274 270 293 220 231

276 228 223 296 231 301 337 298 277 268 267 300 250 260 276 334 280 250 257 290 260 281 208 299 308

264 280 274 278 210 283 234 265 187 258 235 269 265 253 254 280 258 299 214 264 267 283 235 272 287

274 269 275 367 Ejemplo (cont) Agrupando los datos en celdas se tiene: Intervalo Marca de clase de clase 170 - 189 179.5 190 - 209 199.5 210-229 219.5 230-249 239.5 250-269 259.5 270-289 279.5 290-309 299.5 310-329 319.5 330-349

339.5 Frecuencia 2 4 7 13 32 24 11 4 3 Frecuencia Relativa 0.02 0.04 0.07 0.13 0.32 0.24 0.11 0.04 0.03 Frecuencia Absoluta

0.02 0.06 0.13 0.26 0.58 0.82 0.93 0.97 1.00 368 . Ejemplo (cont) El histograma es el siguiente (se observa con forma normal): 35 30 25 20 15 Frec. 10 5

0 170189 210229 250269 290309 330349 369 Ejemplo (cont) Calculando la media y la desviacin estndar se tiene: X-media = 264.06 s = 32.02 La variabilidad del proceso se encuentra en 6 = 192.12 Si las especificaciones fueran LIE = 200 y LSE = 330 Cp = (330 - 200 ) / 192.2 < 1 no es hbil el proceso Zi = (330 - 264.06) / 32.02 Zs = (200 - 264.06) / 32.02

Cpk = menor de Zi y Zs < 1 el proceso no cumple especificaciones 370 Ejercicio Calcular la capacidad del proceso con la distribucin de frecuencias siguiente considerando LIE = 530 y LSE = 580: Intervalo de clase Marca de clase Frecuencia 531 - 535 536 - 540 541 - 545 546 - 550 551 - 555 556 - 560 561 - 565 566 - 570 571 - 575 533 538 543 548 553 558 563 568

573 Frecuencia Relativa Frecuencia Absoluta . 6 8 12 13 20 19 13 11 8 371 Ejemplo de capacidad de proceso Process Capability of Viscosidad LSL USL Within

Overall Process Data LSL 9.00000 Target * USL 14.00000 Sample Mean 11.74400 Sample N 50 StDev(Within) 0.85577 StDev(Overall) 0.80259 Potential (Within) Capability Cp 0.97 CPL 1.07 CPU 0.88 Cpk 0.88

CCpk 0.97 Overall Capability Pp PPL PPU Ppk Cpm 9.6 O bserved Performance PPM < LSL 0.00 PPM > USL 0.00 PPM Total 0.00 10.4 Exp. Within Performance PPM < LSL 671.85 PPM > USL 4191.66 PPM Total 4863.51 11.2 12.0

12.8 Exp. Overall Performance PPM < LSL 314.35 PPM > USL 2470.24 PPM Total 2784.59 1.04 1.14 0.94 0.94 * 13.6 372 Interpretacin de salida Minitab Desviacin estndar Within se determina con R / d2, se usa para determinar los ndices de capacidad a corto plazo Cp, Cpk y PPM Within

Desviacin estndar Overall det. Con la desviacin estndar de los datos S/C4, donde C4=4(n1)/(4n-3)), se usa para determinar los ndices de Desempeo Pp, Ppk y PPM Overall El Observed Perfomance se determina comparando los datos de la muestra con las especificaciones 373 Capacidad a partir de cartas de control 374 EN CASOS ESPECIALES COMO ESTOS DONDE LAS VARIACIONES PRESENTES SON TOTALMENTE INESPERADAS TENEMOSUN PROCESO INESTABLE o IMPREDECIBLE. ?

? ? ? ? ? ? 375 Bases del CEP SI LAS VARIACIONES PRESENTES SON IGUALES, SE DICE QUE SE TIENE UN PROCESO ESTABLE. LA DISTRIBUCION SERA PREDECIBLE EN EL TIEMPO Prediccin Tiempo 376 Control y Capacidad de Proceso Control de Proceso: Cuando la nica fuente de variacin es normal o de causa comn, se dice que el proceso esta operando en CONTROL.

Capacidad de Proceso: Medicin estadstica de las variaciones de causa comn que son demostradas por un proceso. Un proceso es capaz cuando la causa comn de variacin cae dentro de las especificaciones del cliente. La capacidad no se puede determinar a menos que el proceso se encuentre en Control y Estable. 377 Proceso en Control Estadstico La distribucin de la mayora de las caractersticas medidas forman una curva en forma de campana o normal, si no Area hayentre causas 0 y 1sespeciales presentes, que alteren la normalidad . cuales son las causas -Probabilidad de Ocurrencia comunes?| Distribucin del Proceso x _

x= media 34% 34% 14 % -3s -2s -1s 2% s= sigma; es la desviacin estndar; medida de la variacin del proceso. 14 % x +1s +2s 99.73% 3s

2% Ejemplo de carta de control X-R Xbar-R Chart of Pulse1 90 Sample Mean UCL=86.84 80 _ _ X=72.69 70 60 LCL=58.53 2 4 6 8

10 Sample 12 14 16 18 UCL=51.89 Sample Range 48 36 _ R=24.54 24 12 0 LCL=0 2

4 6 8 10 Sample 12 14 16 18 379 Estudios de capacidad Desviacin estndar: Si el proceso sigue una distribucin normal y est en control estadstico, entonces la desviacin estndar puede ser estimada de:

R R d2 Para procesos nuevos, se puede estimar la capacidad del proceso de una produccin piloto 380 Desviacin Estndar del proceso = R = S d2 c4 Donde, Donde, = = Desviacin Desviacinestndar estndarde dela lapoblacin poblacin dd2 ==Factor Factorque

quedepende dependedel deltamao tamaodel delsubgrupo subgrupoen enla lacarta cartade de 2 control controlXX--RR CC4 = Idem al anterior para una carta X - S 4 = Idem al anterior para una carta X - S NOTA: NOTA: En Enuna unacarta cartapor porindividuales, individuales,d2 d2se setoma tomapara parann=

=22yy Rango 381 RangoMedio= Medio=Suma Sumarangos rangos//(n (n-1) -1) Capacidad de proceso Cuando las causas comunes son la nica variacin: Cp El ndice de capacidad potencial del proceso compara la amplitud del proceso con la amplitud especificada. Cp = (LSE - LIE) / 6 Cpk El ndice de capacidad real del proceso compara la media real con el lmite de especificaciones ms cercano (LE) a esta. Cpk = LE Xmedia Cpk = menor |Z1 ; Z2| / 3 3 382 Ejemplo (carta X - R)

De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, despus de que el proceso se estabiliz quedando slo con causas comunes: Xmedia de medias = 264.06 Rmedio = 77.3 Por tanto estimando los parmetros del proceso se tiene: = X media de medias = 33.23 = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 [ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326] Si el lmite de especificacin es: LIE = 200. El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el 383 Ejemplo (carta X - S) De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, despus de que el proceso se estabiliz quedando slo con causas comunes: Xmedia de medias = 100 Smedio = 1.05

Por tanto estimando los parmetros del proceso se tiene: = X media de medias = 1.117 = Smedio / C4 = 1.05 / 0.94 [ C4 para n = 5 tiene el valor 0.94 ] Si el lmite de especificacin es: LIE = 85 y el LSE = 105. El Cpk = (105 - 100) / (1.117 ) (3) = 1.492 384 El Cp = (105 - 85) / 6 (1.117 ) = 2.984 Ejercicios 1) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 8) se obtuvo lo siguiente, despus de que el proceso se estabiliz quedando slo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46): Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5 2) De una carta de control X - S (con subgrupo n = 6) se obtuvo lo siguiente, despus de que el proceso se estabiliz quedando slo con causas comunes (LIE = 15, LSE = 23):

Xmedia de medias = 20 Smedio = 1.5 385 IIIF.5 Capacidad a corto y a largo plazo 386 Corto y largo plazos Corto plazo: Es un periodo corto de tiempo en el cual no hay cambios significativos en el proceso en relacin a las 6Ms (personal, materiales, mtodos, medio ambiente, mediciones, mquinas) Largo Plazo Es el periodo de tiempo en el cual ya han ocurrido todos los cambios posibles en el proceso, se trata de informacin histrica

387 Anlisis de la Capacidad de procesos no normales 388 Procesos no normales Los datos no siempre se ajustan a la distrubucin normal. Una estrategia es traansformar los datos no normales para lograr un comportamiento normal Una alternativa es la transformacin de potencia de Box-Cox dada por: x2 1 x ( ) ; 0 x( ) ln( ) ; 0 389

Procesos no normales Dadas las observaciones X1, X2, X3,.., Xn, seleccionar la potencia que maximice el logaritmo 2 n n ( x ( ) x ( )) n f ( x) ln i ( 1) ln( xi ) 2 i 1 n i 1

Con la media aritmtica de los datos transformados dadan por: 1 x ( ) x i ( ) n i 1 390 Capacidad de procesos no normales y transformaciones de datos Para procesos no normales, utilizar la distribucin de Weibull Para transformaciones de datos no normales en normales utilizar la transformacin de Box Cox

391 Capacidad de procesos no normales usando la distribucin de Weibull Con archivo de Minitab TILES.MTW Process Capability of Warping Calculations Based on Weibull Distribution Model LSL USL Process Data LSL 0.00000 Target * USL 8.00000 Sample Mean 2.92307 Sample N 100 Shape 1.69368 Scale

3.27812 O verall Capability Pp 0.81 PPL 1.03 PPU 0.73 Ppk 0.73 Exp. O verall Performance PPM < LSL 0.0 PPM > USL 10764.5 PPM Total 10764.5 O bserved Performance PPM < LSL 0 PPM > USL 20000 PPM Total 20000 0.0

1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 392 Capacidad de procesos no normales transformando datos con Box - Cox Con archivo de Minitab TILES.MTW, lamda = 0.5 Box-Cox Plot of Warping Lower CL Upper CL Lambda 20

(using 95.0% confidence) StDev 15 Estimate 0.345504 Lower CL Upper CL 0.052120 0.642093 Best Value 0.500000 10 5 Limit 0 -2

-1 0 1 2 Lambda 3 4 5 393 Capacidad de procesos no normales transformando datos con Box - Cox Con la raz cuadrada de los datos y de los lmites de especificaciones se tiene: Process Capability of Transf LSL USL

Within Overall Process Data LSL 0.00000 Target * USL 2.82843 Sample Mean 1.62374 Sample N 100 StDev(Within) 0.51337 StDev(O verall) 0.53934 Potential (Within) Capability Cp 0.92 C PL 1.05 C PU 0.78 C pk 0.78

C Cpk 0.92 O verall Capability Pp PPL PPU Ppk C pm 0.0 O bserved Performance PPM < LSL 0.00 PPM > USL 20000.00 PPM Total 20000.00 0.4 0.8 Exp. Within Performance PPM < LSL 781.08 PPM > USL 9472.66 PPM Total 10253.74

1.2 1.6 2.0 2.4 Exp. O verall Performance PPM < LSL 1303.73 PPM > USL 12754.26 PPM Total 14057.99 0.87 1.00 0.74 0.74 * 2.8 394 Capacidad de procesos

bajo Seis Sigma 395 Capacidad de procesos bajo Seis Sigma Motorola not que muchas operaciones en productos complejos tendan a desplazarse 1.5 sobre el tiempo, por tanto un proceso de 6 a la larga tendr 4.5 hacia uno de los lmites de especificacin, generando 3.4 DPMOs (defectos por milln de oportunidades) 396 Variacin a Corto Plazo (periodo durante el cual no se presenta ningn cambio en el proceso) Zst = Zlt + 1.5 Variacin a largo plazo (periodo en el cual ya se han presentado todos los cambios posibles en el proceso) - Zlt

Variacin Global - Zbench. 397 Rendimiento de la capacidad real Recibo de partes del proveedor 95.5% de rendimiento 1,000,000 unidades Despus de la inspeccin de recepcin 97% de rendimiento 45,000 Unidades desperdiciadas De las operaciones de Maquinado 28,650 Unidades desperdiciadas

94.4% de 51,876 Unidades desperdiciadas En los puestos rendimiento de prueba 1er intento YRT = .955*.97*.944 = Correcto la 87.4% 125,526 unidades desperdiciadas primera vez por milln de oportunidades 398 Ejemplos de defectos / unidad Determinar DPU en la produccin de 100 unidades Defectos 20 10

12 4 Unidade s 70 20 6 4 DPU = D/U = (20+10+12+4)/100=0.46 Si cada unidad tiene 6 oportunidades para defecto (caractersticas A, B, C, D, E y F), calcular DPO y DPMO DPO = DPU / O = 0.46/6 = 0.078 DPMO = 78,333 399 Relaciones de sigmas La probabilidad de uno o ms defectos es: P(d) = 1- Yrt = 1 FPY o P(d) = 1 Yrt para

varios procesos Si se tiene FPY = 95% P(d) = 0.05 Entonces la Z a largo plazo se encuentra en tablas como Zlt = 1.645 sigma y por tanto la Zst a corto plazo es: Zst = 1.645 + 1.5 (corrimiento) = 3.145 400 Como calcular la capacidad Seis Sigma para un proceso (equivale a la Zst de corto plazo)? Qu proceso se considera? Facturacin y CxC

Cuntas unidades tiene el proceso? 1,283 Cuntas estn libres de defectos? 1,138 Calcular el desempeo del proceso 1138/1283=0.887 Calcular la tasa de defectos 1 - 0.887 = 0.113 Determinar el nmero de oportunidades que pueden ocasionar un defecto (CTQs) 24 Calcular la tasa de defecto por caract. CTQ 0.113 / 24 = .004709 Calcular los defectos x milln de oportunidades DPMO = 4,709 Calcular #sigmas con tabla de conversin de sigma 4.1 401 IIIF.6 Capacidad de procesos por atributos 402

Capacidad de proceso para datos por atributos En este caso la capacidad del proceso es la proporcin media de producto no conforme Para cartas p y np, la capacidad del proceso es la p media de fraccin no conforme. Se puede usar 1 p. Para cartas c, la capacidad del proceso es el promedio de las no conformidades, c media, para una muestra fija de tamao n. Para cartas u, la capacidad del proceso es el promedio de las no conformidades por unidad, u media 403

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