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COURS DE STRUCTURE DE LA MATIRE (Module Ph 13) 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 1 2) Les bases de la mcanique quantique a) La relation de De Broglie b) Le principe dincertitude de Heisenberg c) Lquation de Schrdinger d) Les solutions de lquation de Schrdinger

pour latome dhydrogne. 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 2 a) La relation de De Broglie Louis de Broglie (1892-1987): Prix Nobel de physique 1929 Mathmaticien et physicien franais 28/02/20

Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 3 La relation de De Broglie: A toute particule de masse m, anime dune vitesse v, on associe une longueur donde donn par la relation : h mv h = 6.62 10 -34 J.s est la constante de Planck est la longueur donde ( en m ) m et v tant la masse ( kg ) et la vitesse ( m/s) respectivement. On dit quil y a dualit 28/02/20

onde corpuscule Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 4 En 1927 Davisson et Germer ont montr exprimentalement que des lectrons se comportaient comme des ondes lors dexprience de diffraction. Davisson ( gauche ) Prix Nobel de Physique en 1937 et Germer 28/02/20

Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 5 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 6 Interfrenc Cours SDM trois\quantique.htm es dlectrons

28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 7 Chaque particule, se comporte comme une onde, dualit onde corpuscule, elle est donc caractrise, comme toute onde, par une fonction donde mathmatique (r ; t) qui dpend de la position de la particule r et du temps t, cette fonction dcrit un systme quantique et dont le carr de la norme est gal la probabilit de prsence de la particule par unit de volume. dp = ( r ; t) dv dp lment de probabilit de prsence de la particule dans un lment de volume dv

28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 8 Lintgrale dans tout lespace de ( r ; t) donne 1 car on est sur de trouver la particule dans le volume considr. On dit que la fonction ( r ; t) est normalis. 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 9

b) Le principe dincertitude de Heisenberg : Werner Heisenberg (1901-1976): Physicien allemand Prix Nobel de physique 19 32 On ne peut pas connatre la fois la position et la vitesse dune particule avec une prcision infinie. 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011

10 Le principe d'incertitude est souvent appel principe d'indtermination. L'emploi de ces deux expressions pour dsigner le mme phnomne physique proviendrait de la traduction en anglais de l'article de Heisenberg. En effet, lors de la premire rdaction de son article, Heisenberg emploie les termes Unsicherheit (incertitude) et Ungenauigkeit (imprcision), puis, comprenant que ces termes peuvent prter confusion, il dcide d'utiliser finalement le terme Unbestimmtheit (indtermination). Mais l'article est dj traduit et c'est le terme "principe d'incertitude" qui sera utilis.[ 28/02/20

Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 11 On ne peut pas connatre la fois la position et la vitesse dune particule avec une prcision infinie. h x.p 4 Cela signifie que l'incertitude sur la position multiplie par l'incertitude sur la quantit de mouvement est suprieure ou gale une constante ( h divis par 4 ). p =mv est appel quantit de mouvement. p = (mv) = m v mx.v

h 4 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 12 h x.p 4 les variables x et p sont dites des variables conjugues, deux autres variables conjugues sont l nergie E et le temps t. h E.t

4 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 13 c) L quation de Schrdinger : Erwin Schrdinger (1887-1961): Prix Nobel de physique 1933 Physicien Autrichien 28/02/20

Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 14 4 H (r , t ) E (r , t ) i : imaginaire pur, dfini par i = -1 H : Hamiltonien : cest un oprateur mathmatique ( r ; t) est la fonction donde de la particule h d H i 2 dt E est l'nergie de la particule

28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 15 Oprateur dHamilton ou hamiltonien Le dveloppement mathmatique complet pour l'atome d'hydrogne, un systme trois dimensions, la particule tudi tant llectron, est donn par: H 2

e 4 2m 2 e 2 r 0 avec

2 2 x y z 2 2 2 appel Laplacien me : masse de l'lectron e : charge de l'lectron

o : constante dilectrique du vide h : constante de Planck r : distance lectron-noyau 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 16 Les nombres quantiques : La rsolution de l'quation de Schrdinger pour latome dhydrogne conduit l'introduction de 4 nombres quantiques qui interviennent comme paramtres dans les fonctions d'onde. Ces nombres quantiques n, l, m et s caractrisent les mouvements microscopiques de l'lectron autour du noyau.

Une orbitale atomique O.A est dfinie par les nombres quantiques n, l et m. 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 17 Nombre quantique principal: n n peut prendre toutes les valeurs entires positives (n = 1, 2, 3,..., ) n est le seul nombre quantique qui influence l'nergie de l'lectron dans un atome d'hydrogne car E ne dpend que de n; il intervient aussi dans la fonction radiale R n, l(r) qui dcrit

l'expansion spatiale de l'orbitale. n dfinit une couche lectronique 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 18 Solutions de l'quation de Schrdinger pour latome dhydrogne H: La rsolution de l'quation de Schrdinger en coordonnes sphriques (r,,) permet de dterminer : les niveaux d'nergie quantifis En de l'lectron qui dpendent du nombre quantique principal n.

1 me e 4 En 2 2 2 n 8 0 h me: masse de l'lectron ( kg ) e : charge de l'lectron ( C ) o : constante dilectrique ( ou permittivit ) du vide h : la constante de Planck ( J.S ) n : nombre quantique principal 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 19

les fonctions d'ondes associes chaque niveau d'nergie En qui dpendent des quatre nombres quantiques n, l, m, s. e (r , , ) N . R n ,l (r ).Y l ,m ( , ) N : la norme, car la fonction est normalise. Rn,l(r) : la fonction radiale Yl,m(,) : la fonction angulaire. L'atome d'hydrogne tant sphrique, on utilise les coordonnes sphriques r, et pour dcrire la position de l'lectron autour du noyau, pris comme origine. 28/02/20

Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 20 Yl,m(,) : la fonction angulaire n'a pas d'interprtation physique, mais le carr de la fonction d'onde intgre sur un lment de volume nous donne la probabilit de trouver l'lectron de l'orbitale n, l, m dans le volume dV. 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011

21 Les coordonnes sphriques r, , 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 22 Fonction radiale Rn,l(r) Elle dpend des nombres quantiques n et l et de la distance lectron-noyau r. La fonction P(r ) R . 4 r dr 2

2 n ,l faisant appel au carr de la fonction radiale, mesure la probabilit de trouver l'lectron la surface d'une sphre la distance r du noyau. 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 23 28/02/20

Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 24 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 25 Plus n augmente, plus la probabilit de rencontrer l'lectron loin du noyau est grande. Ceci correspond une situation moins stable et une expansion de l'orbitale atomique. Pour n = 2, il existe des distances r o Rn,l(r) = 0. Ce sont les

nuds. 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 26 La rsolution de lquation de Schrdinger fait apparatre 3 nombres entiers : n ,l, m 13.6 En 2 n 0

28/02/20 (eV ) l n- 1 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 27 l dfinit la forme et la symtrie des orbitales qui sont nommes par des lettres minuscules. Nombre quantique orbital

28/02/20 Nom des orbitales l = 0 orbitale s l = 1 orbitale p l = 2

orbitale d l = 3 orbitale f l = 4 orbitale g

Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 28 l dfinit une sous-couche lectronique n = 3, l=0 sous-couche 3s n = 3,

l=1 sous-couche 3p n = 3, l=2 sous-couche 3d 0 l n- 1

Remarque: Les sous-couches 3s, 3p et 3d d'un atome d'hydrogne ont la mme nergie puisque n = 3 dans tous les cas. 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 29 m : nombre quantique magntique l m +l m peut prendre (2 l+1) valeurs entires comprises entre -l et +l ( m=-l, -l+1, , -1, 0, l, , l-1, l ).

m dtermine l'orientation des orbitales dans l'espace. Exemple : Les trois orbitales dune sous-couche p (l=1) sont diriges suivant les 3 directions perpendiculaires d'un tridre trirectangle px, py et pz correspondant aux trois valeurs de m diffrentes: m = -1, 0, +1. 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 30 s : nombre quantique de spin s dtermine le sens de rotation intrinsque de l'lectron sur lui-mme. Seuls deux sens sont possibles pour l'lectron et s = 1/2.

s ne dpend pas des coordonnes spatiales des lectrons. 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 31 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 32 28/02/20

Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 33 Les orbitales atomiques 1: orbitales s 1s (n = 1) 28/02/20 2s (n = 2) 3s (n = 3) Cours de structure de la matire Ph 13

M. Bouguechal IPSA 2010-2011 34 Les orbitales atomiques 2: orbitales p 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 35 Les orbitales atomiques 3: orbitales d

28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 36 Les nombres quantiques : modle de lhydrogne n : nombre quantique principal m : nombre quantique magntique l : nombre quantique du moment angulaire s : nombre quantique de spin Structure de la matire

37 28/02/20 Cours de structure de la matire Ph 13 M. Bouguechal IPSA 2010-2011 38

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