Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Circuitos Elctricos I Esta presentacin introduce el tema del modelado matemtico de circuitos elctricos lineales. Modelando un circuito elctrico se obtiene un sistema implcito de ecuaciones diferenciales y algebraicas (EDAs) que se convierten en un sistema explcito de ecuaciones diferenciales y algebraicas en el proceso de la ordenacin horizontal y vertical de las ecuaciones. Eliminando las variables algebraicas, estas EDAs pueden convertirse a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Contenido Elementos y sus modelos La topologa de los circuitos y sus ecuaciones Un ejemplo Ordenacin horizontal Ordenacin vertical Representacin en el espacio de estados Transformacin al espacio de estados Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de
Sistemas Fsicos Elementos de Circuitos Lineales Resistores va i R vb u = v a vb u = Ri vb u = v a vb du i = C dt u Capacidades va i C u Inductancias Febrero 4, 2008 va i
L u vb Prof. Dr. Franois E. Cellier u = v a vb di u = L dt Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Elementos de Circuitos Lineales II U0 Fuentes de voltaje va i | vb U0 = v b va U0 = f(t) vb u = v b va I0 = f(t) U0
I0 Fuentes de corriente va I0 u Tierra V0 V0 - V0 Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier V0 = 0 Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos La Topologa de los Circuitos Nodos va ia ib vb ic va = v b = v c
ia + ib + ic = 0 vc Mallas Febrero 4, 2008 uab va uca vc vb ubc Prof. Dr. Franois E. Cellier uab + ubc + uca = 0 Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Un Ejemplo I Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Reglas para Sistemas de Ecuaciones I Las ecuaciones de los elementos y de la topologa
contienen redundancia. Por ejemplo es posible eliminar todas las variables de potencial (vi) sin problemas. La ecuacin de corrientes para el nodo de la tierra es redundante y no se usa. Las ecuaciones de las mallas solamente se usan si las variables de potencial se eliminan. Si no es el caso, estas ecuaciones son redundantes. Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Reglas para Sistemas de Ecuaciones II Si las variables de potencial se eliminan, cada elemento del circuito define dos variables: la corriente (i) a travs del elemento y el voltaje (u) a travs del mismo. Por consecuencia se necesitan dos ecuaciones para obtener los valores de estas dos variables. Una de las ecuaciones es la ley principal del elemento mismo, la otra se deriva de la topologa. Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Un Ejemplo II Ecuaciones principales de los elementos: U0 = f(t) iC = C duC/dt
u1 = R1 i1 uL = L diL/dt u2 = R2 i2 Ecuaciones de los nodos: El circuito contiene 5 elementos 10 Se piden ecuaciones en 10 incgnitas Febrero 4, 2008 i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC Ecuaciones de las mallas: U0 = u1 + uC uC = u2 Prof. Dr. Franois E. Cellier uL = u1 + u2 Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Reglas para la Ordenacin Horizontal I La variable representando el tiempo t puede tratarse como conocida. Las variables de estado (variables que aparecen en forma diferenciada) pueden tratarse como conocidas. U0 = f(t) i0 = i 1 + i L U0 = f(t) i0 = i 1 + iL u1 = R1 i1
i1 = i 2 + i C u1 = R1 i1 i1 = i 2 + i C u2 = R2 i2 U0 = u1 + uC u2 = R2 i2 U0 = u1 + uC iC = C duC/dt uC = u2 iC = C duC/dt uC = u2 uL = L diL/dt uL = u1 + u2 uL = L diL/dt uL = u1 + u2 Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos
Reglas para la Ordenacin Horizontal II Ecuaciones que contienen una sola incgnita deben evaluarse por ella. Las variables ya evaluadas pueden tratarse como conocidas. U0 = f(t) i0 = i 1 + iL U0 = f(t) i0 = i1 + iL u1 = R1 i1 i1 = i 2 + i C u1 = R1 i1 i1 = i2 + i C u2 = R2 i2 U0 = u1 + uC u2 = R2 i2 U0 = u1 + uC iC = C duC/dt uC = u2 iC = C duC/dt uC = u2 uL = L diL/dt uL = u1 + u2 uL = L diL/dt
uL = u1 + u2 Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Reglas para la Ordenacin Horizontal III Variables que aparecen en una sola ecuacin todava no causal deben evaluarse usando esa ecuacin. U0 = f(t) i0 = i 1 + iL U0 = f(t) i0 = i 1 + iL u1 = R1 i1 i1 = i 2 + i C u1 = R1 i1 i1 = i2 + i C u2 = R2 i2 U0 = u1 + uC u2 = R2 i2 U0 = u1 + uC
iC = C duC/dt uC = u2 iC = C duC/dt uC = u2 uL = L diL/dt uL = u1 + u2 uL = L diL/dt uL = u1 + u2 Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Reglas para la Ordenacin Horizontal IV Todas esas reglas pueden aplicarse mltiples veces. U0 = f(t) i0 = i1 + iL U0 = f(t) i0 = i 1 + iL u1 = R1 i1 i1 = i 2 + i C
u1 = R1 i1 i1 = i 2 + i C u2 = R2 i2 U0 = u1 + uC u2 = R2 i2 U0 = u1 + uC iC = C duC/dt uC = u2 iC = C duC/dt uC = u2 uL = L diL/dt uL = u1 + u2 uL = L diL/dt uL = u1 + u2 Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos U0 = f(t)
i0 = i1 + iL U0 = f(t) i0 = i 1 + iL u1 = R1 i1 i1 = i2 + iC u1 = R1 i1 i1 = i 2 + i C u2 = R2 i2 U0 = u1 + uC u2 = R2 i2 U0 = u1 + uC iC = C duC/dt uC = u2 iC = C duC/dt uC = u2 uL = L diL/dt uL = u1 + u2 uL = L diL/dt uL = u1 + u2 El algoritmo se aplica hasta que
cada ecuacin define exactamente una sola variable que se evala por ella. Febrero 4, 2008 U0 = f(t) i0 = i 1 + iL u1 = R1 i1 i1 = i 2 + iC u2 = R2 i2 U0 = u1 + uC iC = C duC/dt uC = u2 uL = L diL/dt uL = u1 + u2 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Reglas para la Ordenacin Horizontal V La ordenacin horizontal puede ser ejecutada ahora usando tcnicas simblicas de la manipulacin de formulas. U0 = f(t) i0 = i1 + iL
U0 = f(t) i 0 = i1 + i L u1 = R1 i1 i1 = i2 + iC i1 = u1 /R1 i C = i1 - i2 u2 = R2 i2 U0 = u1 + uC i2 = u2 /R2 u1 = U0 - uC iC = C duC/dt uC = u2 duC/dt = iC /C u2 = uC uL = L diL/dt uL = u1 + u2 diL/dt = uL /L uL = u1 + u2 Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier
Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Reglas para la Ordenacin Vertical Entre tanto las ecuaciones se convirtieron en asignaciones. Pueden ser ordenadas verticalmente de tal manera que ninguna de las variables se use antes de que est definida. U0 = f(t) i 0 = i1 + i L U0 = f(t) i2 = u2 /R2 i1 = u1 /R1 i C = i1 - i2 u1 = U0 - uC iC = i1 - i2 i2 = u2 /R2 u1 = U0 - uC i1 = u1 /R1 uL = u1 + u2 duC/dt = iC /C u2 = uC i0 = i 1 + iL duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L uL = u1 + u2 u2 = uC diL/dt = uL /L Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Reglas para Sistemas de Ecuaciones III Alternativamente es posible trabajar con voltajes y potenciales. En ese caso ecuaciones adicionales definiendo los potenciales de los nodos deben encontrarse. Se trata de las ecuaciones que relacionan los voltajes a travs de elementos con los potenciales en sus terminales. Aquellas no se usaron hasta ahora. Las ecuaciones de las mallas son redundantes y deben eliminarse. Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Un Ejemplo III
v1 Ecuaciones principales de los elementos: U0 = f(t) v2 U0 = v1 v0 u1 = R1 i1 u1 = v1 v2 u2 = R2 i2 u2 = v2 v0 v0 El circuito contiene 5 elementos y adems 3 nodos. Se piden 13 ecuaciones en 13 incgnitas. Febrero 4, 2008 iC = C duC/dt uC = v2 v0 uL = L diL/dt uL = v1 v0 v0 = 0 Ecuaciones de los nodos: i0 = i1 + iL i1 = i2 + iC Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos
Ordenacin Febrero 4, 2008 El algoritmo de la ordenacin de ecuaciones puede aplicarse exactamente como antes. El algoritmo de la ordenacin ya se haba reducido a una estructura puramente matemtica (de informacin) que no mantiene ningn conocimiento de la teora de circuitos elctricos. Por consecuencia la tarea del modelado puede reducirse a dos problemas parciales: 1. Transformacin de la topologa del sistema fsico a un sistema implcito de DAEs. 2. Conversin del sistema programacin ejecutable. DAE a Prof. Dr. Franois E. Cellier una estructura Principio de la presentacin de Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos
Representacin en el Espacio de Estados Sistemas lineales: dx =Ax+Bu dt y=Cx+Du ; x(t0) = x0 Sistemas no lineales: dx = f(x,u,t) dt y = g(x,u,t) ; x(t0) = x0 A n n n u m y p x n m C p n D p m B x = Vector de variables de estado u = Vector de variables de entrada y = Vector de variables de salida
n = Nmero de variables de estado m = Nmero de entradas p = Nmero de salidas Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Transformacin al Espacio de Estados I duC/dt = iC /C U0 = f(t) i2 = u2 /R2 u1 = U0 - uC iC = i 1 - i 2 i1 = u1 /R1 uL = u1 + u2 i0 = i 1 + iL duC/dt = iC /C = u1 /(R1 C) u2 /(R2 C) u2 = uC diL/dt = uL /L = (U0 - uC) /(R1 C) uC /(R2 C)
Para cada ecuacin que define una derivada se substituyen las variables de la derecha por las ecuaciones que definen ellas hasta que las derivadas dependan solamente de variables de estado y de entradas. Febrero 4, 2008 = (i1 - i2 ) /C diL/dt = i1 /C - i2 /C = uL /L = (u1 + u2) /L = u1 /L + u2 /L = (U0 - uC) /L + uC /L = U0 /L Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Transformacin al Espacio de Estados II Definiendo: x = u
x =-[ x u ] R C R C R C x =i u=U x = 1 u L 1 C 1 2 1 1 L 2 1 0 y = uC 2 y = x1 Febrero 4, 2008
Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Un Ejemplo IV Febrero 4, 2008 Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin Modelado Matemtico de Sistemas Fsicos Referencias Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 3. Cellier, F.E. del circuito elctrico. Febrero 4, 2008 (2001), Cdigo de Matlab Prof. Dr. Franois E. Cellier Principio de la presentacin
